Упр.40.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.11. Представьте число 180 в виде суммы трех неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

Подробный ответ

Пусть три слагаемых равны $$x$$, $$y$$ и $$z$$. Тогда

$$x+y+z=180.$$

По условию два слагаемых относятся как $$1:2$$, значит можно положить

$$y=2x.$$

Тогда

$$z=180-x-y=180-3x.$$

Произведение трёх слагаемых:

$$P(x)=xyz=x\cdot 2x\cdot (180-3x)=360x^2-6x^3.$$

Найдём максимум функции:

$$P'(x)=720x-18x^2=18x(40-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=40$$. На промежутке $$0\le x\le 40$$ производная неотрицательна, значит функция возрастает, и наибольшее значение достигается при $$x=40$$.

Тогда

$$y=2\cdot 40=80,$$

$$z=180-40-80=60.$$

Проверка: $$40:80=1:2$$, сумма равна $$180$$.