Упр.40.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Представьте число $$180$$ в виде суммы трех неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как $$1:2$$, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

Пусть $$x$$, $$y$$ и $$z$$ — искомые неотрицательные числа. Тогда

$$x+y+z=180,$$

а по условию $$x:y=1:2$$, значит

$$y=2x.$$

Тогда

$$z=180-x-y=180-3x.$$

Рассмотрим произведение

$$P(x)=xyz=x\cdot 2x\cdot(180-3x)=360x^2-6x^3.$$

Найдём максимум этой функции:

$$P'(x)=720x-18x^2=18x(40-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=40$$. На промежутке $$0\le x\le 40$$ производная неотрицательна, значит функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=40$$.

Тогда

$$y=2\cdot 40=80,$$

$$z=180-40-80=60.$$

Следовательно, искомые слагаемые:

$$40,\ 80,\ 60.$$

Ответ: $$180=40+80+60.$$