Упр.40.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2cos(x)-sin(2x), [-?/2; ?/2];
2) f(x)=2v3cos(x)+2sin(x), [-?/2; ?/2].

Подробный ответ

$$f(x)=2\cos x-\sin 2x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sin x-2\cos 2x.$$
Критические точки:
$$-2\sin x-2\cos 2x=0$$
$$\sin x+\cos 2x=0$$
$$\sin x+1-2\sin^2 x=0$$
$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$
Пусть $$t=\sin x$$. Тогда
$$2t^2-t-1=0,$$
$$t_1=-\frac12,\quad t_2=1.$$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем точки:
$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6},\qquad \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sin(-\pi)=0,$$
$$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}-\sin\pi=0.$$
$$f(x)=2\sqrt3\cos x+2\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sqrt3\sin x+2\cos x.$$
Критические точки:
$$-2\sqrt3\sin x+2\cos x=0$$
$$\cos x-\sqrt3\sin x=0$$
$$\tan x=\frac{1}{\sqrt3}.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\sqrt3\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2,$$
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sqrt3\cos\frac{\pi}{6}+2\sin\frac{\pi}{6}=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+2\cdot\frac12=4,$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sqrt3\cos\frac{\pi}{2}+2\sin\frac{\pi}{2}=2.$$