Упр.40.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f$$ на указанном промежутке:

1) $$f(x)=2\cos x-\sin 2x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$;

2) $$f(x)=2\sqrt{3}\cos x+2\sin x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=2\cos x-\sin 2x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2\sin x-2\cos 2x.$$

Критические точки определим из уравнения

$$-2\sin x-2\cos 2x=0.$$

Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ получаем

$$-2\sin x-2(1-2\sin^2 x)=0,$$

$$4\sin^2 x-2\sin x-2=0.$$

Пусть $$t=\sin x$$. Тогда

$$4t^2-2t-2=0,$$

$$2t^2-t-1=0,$$

$$t_1=-\frac12,\quad t_2=1.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ это даёт точки

$$x=-\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sin(-\pi)=0,$$

$$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\pi=0.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt3}{2},$$ наименьшее — $$0.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=2\sqrt3\cos x+2\sin x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2\sqrt3\sin x+2\cos x.$$

Критические точки определим из уравнения

$$2\cos x-2\sqrt3\sin x=0,$$

$$\cos x-\sqrt3\sin x=0,$$

$$\tan x=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке: