Упр.40.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=3x^2-x^3, [-1; 3]; 3) f(x)=2x^3-9x^2-3, [-1; 4];
2) f(x)=x^4-2x^2+5, [0; 2]; 4) f(x)=(x^2+8)/(x-1), [-3; 0].

Подробный ответ

$$f(x)=3x^2-x^3,\quad [-1;3]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)$$
Критические точки:
$$3x(2-x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2$$
Вычислим значения функции в концах промежутка и в критических точках:
$$ f(-1)=3\cdot(-1)^2-(-1)^3=4,\quad f(0)=0,\quad f(2)=4,\quad f(3)=0 $$
Следовательно, наибольшее значение равно $$4$$, наименьшее — $$0$$.
$$f(x)=x^4-2x^2+5,\quad [0;2]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
На отрезке $$[0;2]$$ критические точки: $$x=0,\; x=1$$.
Вычислим значения функции:
$$ f(0)=5,\quad f(1)=4,\quad f(2)=16-8+5=13 $$
Значит, наибольшее значение равно $$13$$, наименьшее — $$4$$.
$$f(x)=2x^3-9x^2-3,\quad [-1;4]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2-18x=6x(x-3)$$
Критические точки:
$$6x(x-3)=0 \Rightarrow x=0,\; x=3$$
Вычислим значения функции:
$$ f(-1)=2\cdot(-1)^3-9\cdot(-1)^2-3=-14,\quad f(0)=-3,\quad f(3)=54-81-3=-30,\quad f(4)=128-144-3=-19 $$
Следовательно, наибольшее значение равно $$-3$$, наименьшее — $$-30$$.
$$f(x)=\frac{x^2+8}{x-1},\quad [-3;0]$$
На данном промежутке $$x\neq 1$$, поэтому функция определена на всём отрезке $$[-3;0]$$.
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+8)}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2} =\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2} $$
Критическая точка на отрезке: $$x=-2$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$ f(-3)=\frac{9+8}{-4}=-\frac{17}{4},\quad f(-2)=\frac{4+8}{-3}=-4,\quad f(0)=\frac{8}{-1}=-8 $$
Значит, наибольшее значение равно $$-\frac{17}{4}$$, наименьшее — $$-8$$.