Упр.40.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f$$ на указанном промежутке:
1) $$f(x)=3x^2-x^3$$, $$[-1;3]$$;
3) $$f(x)=2x^3-9x^2-3$$, $$[-1;4]$$;
2) $$f(x)=x^4-2x^2+5$$, $$[0;2]$$;
4) $$f(x)=\frac{x^2+8}{x-1}$$, $$[-3;0]$$.
1) $$f(x)=3x^2-x^3,\quad [-1;3]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Критические точки на промежутке: $$x=0,\; x=2.$$
Вычислим значения функции в концах промежутка и в критических точках:
$$f(-1)=3\cdot(-1)^2-(-1)^3=3+1=4,\\ f(0)=0,\\ f(2)=3\cdot 2^2-2^3=12-8=4,\\ f(3)=3\cdot 3^2-3^3=27-27=0.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$4,$$ наименьшее — $$0.$$
2) $$f(x)=x^4-2x^2+5,\quad [0;2]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки на промежутке: $$x=0,\; x=1.$$
Вычислим значения функции:
$$f(0)=5,\\ f(1)=1-2+5=4,\\ f(2)=16-8+5=13.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$13,$$ наименьшее — $$4.$$
3) $$f(x)=2x^3-9x^2-3,\quad [-1;4]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2-18x=6x(x-3).$$
Критические точки на промежутке: $$x=0,\; x=3.$$
Вычислим значения функции:
$$f(-1)=2\cdot(-1)^3-9\cdot(-1)^2-3=-2-9-3=-14,\\ f(0)=-3,\\ f(3)=2\cdot 3^3-9\cdot 3^2-3=54-81-3=-30,\\ f(4)=2\cdot 4^3-9\cdot 4^2-3=128-144-3=-19.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$-3,$$ наименьшее — $$-30.$$
4) $$f(x)=\frac{x^2+8}{x-1},\quad [-3;0]$$
На данном промежутке точка $$x=1$$ не принадлежит области определения, значит функция определена на всём отрезке.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+8)\cdot 1}{(x-1)^2} =\frac{2x^2-2x-x^2-8}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2}.$$
Критические точки из числителя:
$$x^2-2x-8=0,\qquad (x-4)(x+2)=0,$$
откуда $$x=-2,\; x=4.$$ На отрезке $$[-3;0]$$ лежит только $$x=-2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-3)=\frac{9+8}{-3-1}=-\frac{17}{4},\\ f(-2)=\frac{4+8}{-2-1}=-4,\\ f(0)=\frac{8}{-1}=-8.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$-4,$$ наименьшее — $$-8.$$
Ответ: 1) $$4,\ 0$$; 2) $$13,\ 4$$; 3) $$-3,\ -30$$; 4) $$-4,\ -8$$.
