Упр.4.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Равносильны ли неравенства:
   
   1) $$(x-3)^2(x+4)\ge 0$$ и $$x+4\ge 0$$;
   
   2) $$(x-3)^2(x+4)<0$$ и $$x+4<0$$;
   3) $$\frac{x-2}{x-4}>0$$ и $$x-2>0$$;
   
   4) $$\sqrt{x}\ge 0$$ и $$x^4\ge 0$$?

1) Рассмотрим неравенства $$\left(x-3\right)^2\left(x+4\right)\le 0$$ и $$x+4\le 0.$$

Так как $$\left(x-3\right)^2\ge 0$$ при любых $$x,$$ то произведение $$\left(x-3\right)^2\left(x+4\right)\le 0$$ выполняется при $$x+4\le 0$$, а также при $$x=3.$$

Получаем:

$$x\in(-\infty;-4]\cup\{3\}.$$

А второе неравенство даёт:

$$x+4\le 0,\quad x\le -4,$$

то есть

$$x\in(-\infty;-4].$$

Множества решений не совпадают, значит, неравенства неравносильны.

2) Рассмотрим неравенства $$\left(x-3\right)^2\left(x+4\right)<0$$ и $$x+4<0.$$

Так как $$\left(x-3\right)^2>0$$ при $$x\ne 3,$$ то произведение будет отрицательным тогда и только тогда, когда

$$x+4<0.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-4).$$

Второе неравенство даёт то же самое множество решений:

$$x+4<0,\quad x\in(-\infty;-4).$$

Значит, неравенства равносильны.

3) Рассмотрим неравенства $$\frac{x-2}{x-4}>0$$ и $$x-2>0.$$

Для первого неравенства область определения: $$x\ne 4.$$ Решим его методом интервалов:

$$\frac{x-2}{x-4}>0 \iff (x-2)(x-4)>0,$$

откуда

$$x<2 \quad \text{или} \quad x>4.$$

Значит,

$$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty).$$

Второе неравенство даёт:

$$x-2>0,\quad x>2,$$

то есть

$$x\in(2;+\infty).$$

Множества решений различны, значит, неравенства неравносильны.

4) Рассмотрим неравенства $$\sqrt{x}\le 0$$ и $$x^4\le 0.$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$ при $$x\ge 0,$$ то неравенство $$\sqrt{x}\le 0$$ возможно только при

$$\sqrt{x}=0,\quad x=0.$$

Следовательно,

$$x\in\{0\}.$$

Для второго неравенства имеем:

$$x^4\le 0.$$

Но $$x^4\ge 0$$ при любых $$x,$$ значит, это возможно только при

$$x=0,$$

то есть

$$x\in\{0\}.$$

Множества решений совпадают, значит, неравенства равносильны.

Ответ

1) неравносильны; 2) равносильны; 3) неравносильны; 4) равносильны.