Упр.4.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (x-3)^2(x+4)?0 и x+4?0; 3) (x-2)/(x-4) > 0 и x-2 > 0;
2) (x-3)^2(x+4) < 0 и x+4 < 0; 4) vx?0 и x^4?0?

Подробный ответ

$$ (x-3)^2(x+4)\le 0 $$ и $$ x+4\le 0 $$
Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$ при любом $$x$$, то произведение $$ (x-3)^2(x+4)\le 0 $$ выполняется при $$x\le -4$$, а также при $$x=3$$.
Получаем:
$$x\in(-\infty;-4]\cup\{3\}.$$
Второе неравенство даёт:
$$x+4\le 0 \;\Rightarrow\; x\le -4,$$
то есть $$x\in(-\infty;-4].$$
Множества решений не совпадают, значит, неравенства неравносильны.
$$ (x-3)^2(x+4)<0 $$ и $$ x+4<0 $$
Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$, то произведение будет отрицательным только при
$$x+4<0,\quad x\ne 3.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-4).$$
Второе неравенство:
$$x+4<0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-4).$$
Множества решений совпадают, значит, неравенства равносильны.
$$ \frac{x-2}{x-4}>0 $$ и $$ x-2>0 $$
Для дроби нужно учесть, что $$x\ne 4$$. Решим неравенство методом интервалов:
$$\frac{x-2}{x-4}>0 \;\Rightarrow\; x<2 \text{ или } x>4.$$
То есть
$$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty).$$
Второе неравенство даёт:
$$x-2>0 \;\Rightarrow\; x>2,$$
то есть $$x\in(2;+\infty).$$
Множества решений не совпадают, значит, неравенства неравносильны.
$$ \sqrt{x}\le 0 $$ и $$ x^4\le 0 $$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$ при $$x\ge 0$$, то неравенство $$\sqrt{x}\le 0$$ выполняется только при
$$x=0.$$
Значит,
$$x\in\{0\}.$$
Для второго неравенства:
$$x^4\le 0.$$
Степень четная, поэтому $$x^4\ge 0$$, и неравенство выполняется только при
$$x=0.$$
Следовательно,
$$x\in\{0\}.$$
Множества решений совпадают, значит, неравенства равносильны.