Упр.4.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Равносильны ли неравенства:

1. $$x+3>6$$ и $$-4x<-12$$;
2. $$\frac{1}{x}<1$$ и $$x>1$$;
3. $$(x+2)^2(x+1)<0$$ и $$x+1<0$$;
4. $$x^2?x$$ и $$x?1$$;
5. $$(x+2)^2(x+1)?0$$ и $$x+1?0$$;
6. $$(x+4)^2<0$$ и $$|x-2|<0$$?

1) $$x+3>6$$ и $$-4x<-12$$

Первое неравенство:

$$x+3>6$$
$$x>3$$

Второе неравенство:

$$-4x<-12$$
$$x>3$$

Множества решений совпадают, значит, неравенства равносильны.

2) $$(x+2)^2(x+1)<0$$ и $$x+1<0$$

Первое неравенство:

Так как $$(x+2)^2 \ge 0$$, то произведение $$(x+2)^2(x+1)$$ отрицательно только при $$x+1<0$$ и $$x\ne -2$$.

Получаем:

$$x<-1,\quad x\ne -2$$

То есть

$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1)$$

Второе неравенство:

$$x+1<0$$
$$x<-1$$

Множества решений не совпадают, значит, неравенства неравносильны.

3) $$(x+2)^2(x+1)\le 0$$ и $$x+1\le 0$$

Первое неравенство:

Так как $$(x+2)^2 \ge 0$$, то произведение $$(x+2)^2(x+1)$$ не положительно при $$x+1\le 0$$.

Получаем:

$$x\le -1$$

Второе неравенство:

$$x+1\le 0$$
$$x\le -1$$

Множества решений совпадают, значит, неравенства равносильны.

4) $$\frac{1}{x}<1$$ и $$x>1$$

Первое неравенство:

$$\frac{1}{x}-1<0,\quad x\ne 0$$

$$\frac{1-x}{x}<0$$

$$x(x-1)>0$$

$$x<0 \text{ или } x>1$$

Второе неравенство:

$$x>1$$

Множества решений не совпадают, значит, неравенства неравносильны.

5) $$x^2\ge x$$ и $$x\ge 1$$

Первое неравенство:

$$x^2-x\ge 0$$

$$x(x-1)\ge 0$$

$$x\le 0 \text{ или } x\ge 1$$

Второе неравенство:

$$x\ge 1$$

Множества решений не совпадают, значит, неравенства неравносильны.

6) $$(x+4)^2<0$$ и $$|x-2|<0$$

Первое неравенство не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным:

$$(x+4)^2 \ge 0$$

Второе неравенство тоже не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным:

$$|x-2| \ge 0$$

Оба неравенства не имеют решений, значит, они равносильны.

Ответ: 1) равносильны; 2) неравносильны; 3) равносильны; 4) неравносильны; 5) неравносильны; 6) равносильны.