Упр.4.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) в уравнении 3(2x-1)-5(4x+2)=1 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;
2) в уравнении x^2+1/(x-7)-1/(x-7)=49 разность 1/(x-7)-1/(x-7) заменить нулём;
3) в уравнении (x^2-1)/(x-1)+3x-5=0 сократить дробь;
4) обе части уравнения x^3=x разделить на х;
5) обе части уравнения (x+1)(x^2+4)=x^2+4 разделить на x^2+4;
б) обе части уравнения x^2/x=2 умножить на x;
7) обе части уравнения 2x+1=5 умножить на x+1?

Подробный ответ

Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых — равносильные преобразования:
$$3(2x-1)-5(4x+2)=1$$
$$6x-3-20x-10=1$$
$$-14x-13=1$$
$$-14x=14$$
$$x=-1$$
Значит, уравнение будет равносильным.
Если заменить разность $$\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-7}$$ нулём, то нужно учитывать ОДЗ: $$x\ne 7$$.
После преобразования получаем:
$$x^2+0=49$$
$$x^2=49$$
$$x=\pm 7$$
Но $$x=7$$ не входит в ОДЗ, значит появился посторонний корень.
Следовательно, преобразование неравносильно.
Сокращение дроби возможно только при $$x\ne 1$$:
$$\frac{x^2-1}{x-1}+3x-5=0$$
$$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+3x-5=0$$
$$x+1+3x-5=0$$
$$4x-4=0$$
$$x=1$$
Получен корень, не входящий в ОДЗ, значит преобразование неравносильно.
Деление обеих частей уравнения $$x^3=x$$ на $$x$$ возможно только при $$x\ne 0$$:
$$x^3=x$$
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1$$
Корень $$x=0$$ потерян, значит преобразование неравносильно.
Делить на $$x^2+4$$ можно, так как
$$x^2+4>0$$
при любом $$x$$.
Следовательно, преобразование равносильно.
Умножение обеих частей уравнения $$\frac{x^2}{x}=2$$ на $$x$$ допустимо только при $$x\ne 0$$:
$$\frac{x^2}{x}=2$$
$$x^2=2x$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
Корень $$x=0$$ не входит в ОДЗ, значит преобразование неравносильно.
Умножение обеих частей уравнения $$2x+1=5$$ на $$x+1$$ может быть неравносильным, если $$x+1=0$$:
$$2x+1=5$$
$$x=2$$
После умножения:
$$ (2x+1)(x+1)=5(x+1) $$
$$ (2x-4)(x+1)=0 $$
$$ (x-2)(x+1)=0 $$
$$x=2 \text{ или } x=-1$$
Появился посторонний корень $$x=-1$$, значит преобразование неравносильно.