Упр.4.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным данному:
1) в уравнении $$3(2x-1)-5(4x+2)=1$$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;
2) в уравнении $$x^2+\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-7}=49$$ разность $$\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-7}$$ заменить нулём;
3) в уравнении $$\frac{x^2-1}{x-1}+3x-5=0$$ сократить дробь;
4) обе части уравнения $$x^3=x$$ разделить на $$x$$;
5) обе части уравнения $$(x+1)(x^2+4)=x^2+4$$ разделить на $$x^2+4$$;
б) обе части уравнения $$\frac{x^2}{x}=2$$ умножить на $$x$$;
7) обе части уравнения $$2x+1=5$$ умножить на $$x+1$$?
Да, будет. Преобразование сводится к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых, а такие действия равносильны исходному уравнению:
$$3(2x-1)-5(4x+2)=1$$
$$6x-3-20x-10=1$$
$$-14x-13=1$$
$$-14x=14$$
$$x=-1$$
Нет, не будет. При замене $$\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-7}$$ на нуль получаем уравнение
$$x^2=49,\quad x\ne 7.$$
Его корни: $$x=\pm 7,$$ но $$x=7$$ не подходит, так как не входит в область допустимых значений. Появился лишний корень.
Нет, не будет. Сокращение дроби допустимо только при $$x\ne 1$$:
$$\frac{x^2-1}{x-1}+3x-5=0,\quad x\ne 1$$
$$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}+3x-5=0$$
$$x+1+3x-5=0$$
$$4x=4$$
$$x=1.$$
Получен корень, не входящий в ОДЗ, значит преобразование неравносильно.
Нет, не будет. Делить обе части уравнения на $$x$$ можно только при $$x\ne 0$$:
$$x^3=x,\quad x\ne 0$$
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1.$$
Но исходное уравнение имеет ещё корень $$x=0$$, который при делении на $$x$$ теряется.
Да, будет. Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, деление на $$x^2+4$$ допустимо и не меняет множество решений:
$$\frac{(x+1)(x^2+4)}{x^2+4}=\frac{x^2+4}{x^2+4}$$
$$x+1=1$$
$$x=0.$$
Нет, не будет. Умножать обе части на $$x$$ можно только при $$x\ne 0$$:
$$\frac{x^2}{x}=2,\quad x\ne 0$$
$$x^2=2x$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2.$$
Корень $$x=0$$ появился после умножения и не входит в ОДЗ.
Нет, не будет. При умножении на $$x+1$$ нужно учитывать, что $$x\ne -1$$:
$$2x+1=5$$
$$(2x+1)(x+1)=5(x+1)$$
$$(2x-4)(x+1)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Корень $$x=-1$$ не подходит, так как при нём множитель $$x+1=0$$.
