Упр.4.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- 1) $$(x-5)^2>0$$; 4) $$(x-5)^2?0$$; 7) $$\frac{x+5}{x+5}>\frac{1}{2}$$; 2) $$(x-5)^2?0$$; 5) $$\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^2>0$$; 8) $$\frac{x^2+1}{x^2}?0$$; 3) $$(x-5)^2<0$$; 6) $$\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^2?0$$; 9) $$\frac{x^2}{x^2+1}?0$$.
$$(x-5)^2>0$$
Квадрат числа положителен при всех значениях переменной, кроме случая, когда он равен нулю:
$$x-5\ne 0,\quad x\ne 5.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$
$$(x-5)^2\ge 0$$
Квадрат любого числа неотрицателен при всех $$x$$.
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
$$(x-5)^2<0$$
Квадрат числа не может быть отрицательным.
Решений нет:
$$x\in\varnothing.$$
$$(x-5)^2\le 0$$
Квадрат числа не превосходит нуля только тогда, когда он равен нулю:
$$x-5=0,\quad x=5.$$
Значит,
$$x\in\{5\}.$$
$$\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^2>0$$
Квадрат дроби положителен, если сама дробь определена и не равна нулю:
$$x+5\ne 0,\quad x-5\ne 0.$$
То есть
$$x\ne -5,\quad x\ne 5.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty).$$
$$\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^2\ge 0$$
Квадрат дроби неотрицателен при всех значениях, при которых выражение имеет смысл:
$$x+5\ne 0,\quad x\ne -5.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
$$\frac{x+5}{x+5}>\frac12$$
При $$x\ne -5$$ левая часть равна $$1$$, поэтому получаем:
$$1>\frac12.$$
Это верно при всех допустимых значениях переменной.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
$$\frac{x^2+1}{x^2}\ge 0$$
Числитель $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, а знаменатель должен быть отличен от нуля:
$$x^2\ne 0,\quad x\ne 0.$$
Тогда дробь положительна при всех допустимых $$x$$.
Ответ:
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$$
Числитель $$x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, знаменатель $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$.
Значит, дробь определена и неотрицательна при всех действительных значениях переменной.
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
