Упр.4.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (x-5)^2 > 0; 4) (x-5)^2?0; 7) (x+5)/(x+5) > 1/2;
2) (x-5)^2?0; 5) ((x-5)/(x+5))^2 > 0; 8) (x^2+1)/x^2?0;
3) (x-5)^2 < 0; 6) ((x-5)/(x+5))^2?0; 9) x^2/(x^2+1)?0.
- $$\left(x-5\right)^2>0$$
Квадрат числа положителен при всех значениях переменной, кроме случая, когда он равен нулю:
$$x-5\ne 0$$
$$x\ne 5$$Следовательно,
$$x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$
- $$\left(x-5\right)^2\ge 0$$
Квадрат любого числа неотрицателен при всех $x$.
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
- $$\left(x-5\right)^2<0$$
Квадрат числа не может быть отрицательным.
Решений нет.
- $$\left(x-5\right)^2\le 0$$
Квадрат числа не превосходит нуля только тогда, когда он равен нулю:
$$x-5=0$$
$$x=5$$Следовательно,
$$x\in\{5\}.$$
- $$\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^2>0$$
Выражение имеет смысл при
$$x+5\ne 0,$$
$$x\ne -5.$$Квадрат дроби положителен, если сама дробь не равна нулю:
$$x-5\ne 0,$$
$$x\ne 5.$$Итак,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty).$$
- $$\left(\frac{x-5}{x+5}\right)^2\ge 0$$
Квадрат дроби неотрицателен при всех допустимых значениях переменной.
Выражение имеет смысл при
$$x+5\ne 0,$$
$$x\ne -5.$$Следовательно,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
- $$\frac{x+5}{x+5}>\frac12$$
Выражение имеет смысл при
$$x+5\ne 0,$$
$$x\ne -5.$$При этом
$$\frac{x+5}{x+5}=1,$$
поэтому неравенство принимает вид
$$1>\frac12.$$
Оно верно при всех допустимых $x$.
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
- $$\frac{x^2+1}{x^2}\ge 0$$
Числитель всегда положителен:
$$x^2+1>0.$$
Знаменатель должен быть ненулевым:
$$x^2\ne 0,$$
$$x\ne 0.$$Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
- $$\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$$
Числитель неотрицателен при всех $x$:
$$x^2\ge 0.$$
Знаменатель всегда положителен:
$$x^2+1>0.$$
Значит, дробь неотрицательна при всех действительных $x$.
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
Ответ
1) $$x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$
2) $$x\in(-\infty;+\infty).$$
3) $$\varnothing.$$
4) $$x\in\{5\}.$$
5) $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty).$$
6) $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
7) $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
8) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
9) $$x\in(-\infty;+\infty).$$
