Упр.4.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) уравнение (|x|+3)f(x)=2|x|+6 заменить уравнением f(x)=2;
2) уравнение f(x)/(x^2+1)=0 заменить уравнением f(x)=0;
3) уравнение (x+1)f(x)=x+1 заменить уравнением f(x)=1;
4) уравнение f(x)/(x+1)=g(x)/(x+1) заменить уравнением f(x)=g(x);
5) уравнение f(x)=g(x) заменить уравнением (x+1)f(x)=(x+1)g(x)?

Подробный ответ

$$ (|x|+3)f(x)=2|x|+6 $$
Так как $$2|x|+6=2(|x|+3)$$ и $$|x|+3>0$$ при любом $$x$$, то можно разделить обе части на $$|x|+3$$:
$$ f(x)=\frac{2|x|+6}{|x|+3}=2. $$
Уравнения равносильны, множество корней не изменится.
$$ \frac{f(x)}{x^2+1}=0 $$
Поскольку $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:
$$ f(x)=0. $$
Уравнения равносильны, множество корней не изменится.
$$ (x+1)f(x)=x+1 $$
При $$x\neq -1$$ можно разделить обе части на $$x+1$$ и получить:
$$ f(x)=1. $$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение тоже верно при любом $$f(x)$$, а в уравнении $$f(x)=1$$ этот корень может быть потерян. Значит, множество корней может сузиться.
$$ \frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1} $$
При $$x\neq -1$$ получаем:
$$ f(x)=g(x). $$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение не имеет смысла, а уравнение $$f(x)=g(x)$$ может иметь этот корень. Значит, множество корней может расшириться.
$$ f(x)=g(x) $$
Если умножить обе части на $$x+1$$, то получим:
$$ (x+1)f(x)=(x+1)g(x). $$
При $$x=-1$$ это уравнение выполняется автоматически, даже если $$f(x)\neq g(x)$$. Поэтому может появиться новый корень, и множество корней может расшириться.