Упр.4.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:
- уравнение $$\left(|x|+3\right)f(x)=2|x|+6$$ заменить уравнением $$f(x)=2$$;
- уравнение $$\frac{f(x)}{x^2+1}=0$$ заменить уравнением $$f(x)=0$$;
- уравнение $$\left(x+1\right)f(x)=x+1$$ заменить уравнением $$f(x)=1$$;
- уравнение $$\frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1}$$ заменить уравнением $$f(x)=g(x)$$;
- уравнение $$f(x)=g(x)$$ заменить уравнением $$\left(x+1\right)f(x)=\left(x+1\right)g(x)$$?
$$(|x|+3)f(x)=2|x|+6=2(|x|+3).$$
Так как $$|x|+3>0$$ при любом $$x$$, можно разделить обе части на $$|x|+3$$:
$$f(x)=2.$$
Уравнения равносильны, множество корней не изменится.
$$\frac{f(x)}{x^2+1}=0.$$
Поскольку $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:
$$f(x)=0.$$
Уравнения равносильны, множество корней не изменится.
$$(x+1)f(x)=x+1.$$
При $$x\neq -1$$ можно разделить обе части на $$x+1$$ и получить:
$$f(x)=1.$$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение тоже выполняется при любом значении $$f(-1)$$, а уравнение $$f(x)=1$$ этот корень может не дать. Значит, множество корней сузится.
$$\frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1}.$$
При $$x\neq -1$$ можно умножить обе части на $$x+1$$ и получить:
$$f(x)=g(x).$$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение не имеет смысла, а уравнение $$f(x)=g(x)$$ может иметь этот корень. Значит, множество корней расширится.
$$f(x)=g(x) \quad \Rightarrow \quad (x+1)f(x)=(x+1)g(x).$$
При умножении на $$x+1$$ может появиться лишний корень $$x=-1$$, потому что при этом значении обе части равны нулю независимо от $$f(x)$$ и $$g(x)$$.
Значит, множество корней расширится.
Ответ: 1) не изменится; 2) не изменится; 3) сузится; 4) расширится; 5) расширится.
