Упр.4.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Равносильны ли уравнения: 1) $$-2x=-6$$ и $$\frac{1}{3}x=1$$; 6) $$x^{100}=1$$ и $$x^{1000}=1$$; 2) $$x-5=0$$ и $$x(x-5)=0$$; 7) $$\frac{x}{x}=1$$ и $$x=x$$; 3) $$\frac{6}{x}=0$$ и $$x^2=-4$$; 8) $$x^2+2x+1=0$$ и $$x+1=0$$; 4) $$x+1=1+x$$ и $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$; 9) $$\frac{x^2-1}{x+1}=0$$ и $$x-1=0$$; 5) $$x^3=1$$ и $$|x|=1$$; 10) $$\frac{x^2-9}{x+2}=0$$ и $$x^2-9=0$$?
1) $$-2x=-6$$ и $$\frac13x=1$$.
Первое уравнение: $$-2x=-6 \Rightarrow x=3.$$
Второе уравнение: $$\frac13x=1 \Rightarrow x=3.$$
Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
2) $$x-5=0$$ и $$x(x-5)=0$$.
Первое уравнение: $$x=5.$$
Второе уравнение: $$x(x-5)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=5.$$
Множества решений не совпадают, значит, уравнения неравносильны.
3) $$\frac{6}{x}=0$$ и $$x^2=-4$$.
Первое уравнение не имеет решений, так как дробь не может быть равна нулю при $$6\neq 0$$.
Второе уравнение также не имеет действительных решений, так как $$x^2\ge 0$$.
Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны.
4) $$x+1=1+x$$ и $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$.
Первое уравнение верно при любом $$x\in \mathbb{R}$$.
Во втором уравнении знаменатель $$x^2+1>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому дробь всегда равна $$1$$.
Оба уравнения имеют одно и то же множество решений, значит, они равносильны.
5) $$x^3=1$$ и $$|x|=1$$.
Первое уравнение: $$x=\sqrt[3]{1}=1.$$
Второе уравнение: $$|x|=1 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=-1.$$
Множества решений не совпадают, значит, уравнения неравносильны.
6) $$x^{100}=1$$ и $$x^{1000}=1$$.
Первое уравнение: $$x^{100}=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Второе уравнение: $$x^{1000}=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
7) $$\frac{x}{x}=1$$ и $$x=x$$.
Первое уравнение определено только при $$x\ne 0$$, и тогда оно верно для всех таких $$x$$.
Второе уравнение верно при любом $$x\in \mathbb{R}$$.
Множества решений различны, значит, уравнения неравносильны.
8) $$x^2+2x+1=0$$ и $$x+1=0$$.
$$x^2+2x+1=(x+1)^2,$$ поэтому
$$(x+1)^2=0 \Rightarrow x+1=0.$$
Уравнения равносильны.
9) $$\frac{x^2-1}{x+1}=0$$ и $$x-1=0$$.
Первое уравнение определено при $$x\ne -1$$. Тогда
$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1,$$
и получаем $$x-1=0.$$
При $$x=1$$ знаменатель не обращается в нуль, значит, решение подходит.
Уравнения равносильны.
10) $$\frac{x^2-9}{x+2}=0$$ и $$x^2-9=0$$.
Первое уравнение определено при $$x\ne -2$$. Чтобы дробь была равна нулю, нужно
$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Оба найденных значения не нарушают ОДЗ, значит, решения первого уравнения: $$x=-3$$ и $$x=3.$$
Второе уравнение тоже имеет решения $$x=\pm 3.$$
Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
Ответ: 1) равносильны; 2) неравносильны; 3) равносильны; 4) равносильны; 5) неравносильны; 6) равносильны; 7) неравносильны; 8) равносильны; 9) равносильны; 10) равносильны.
