Упр.4.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) -2x=-6 и (1/3)x=1; 6) x^100=1 и x^1000=1;
2) x-5=0 и x(x-5)=0; 7) x/x=1 и x=x;
3) 6/x=0 и x^2=-4; 8) x^2+2x+1=0 и x+1=0;
4) x+1=1+x и (x^2+1)/(x^2+1)=1; 9) (x^2-1)/(x+1)=0 и x-1=0;
5) x^3=1 и |x|=1; 10) (x^2-9)/(x+2)=0 и x^2-9=0?
$$-2x=-6 \quad \Rightarrow \quad x=3,$$
$$\frac13x=1 \quad \Rightarrow \quad x=3.$$
Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
$$x-5=0 \quad \Rightarrow \quad x=5,$$
$$x(x-5)=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \text{ или } x=5.$$
Второе уравнение имеет лишний корень $$x=0,$$ поэтому уравнения неравносильны.
$$\frac{6}{x}=0$$
Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю. Но $$6\ne 0,$$ значит, решений нет.
$$x^2=-4$$
В действительных числах решений тоже нет.
Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны.
$$x+1=1+x$$
Это тождество, верное при любом $$x\in \mathbb{R}.$$
$$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$
Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ дробь определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и равна $$1.$$
Уравнения равносильны.
$$x^3=1 \quad \Rightarrow \quad x=1,$$
$$|x|=1 \quad \Rightarrow \quad x=1 \text{ или } x=-1.$$
Множества решений различны, значит, уравнения неравносильны.
$$x^{100}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1 \text{ или } x=-1,$$
$$x^{1000}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1 \text{ или } x=-1.$$
Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
$$\frac{x}{x}=1$$
Здесь $$x\ne 0,$$ и при любом таком $$x$$ получаем $$1=1.$$ Значит, решения: $$x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
$$x=x$$
Это тождество, верное при любом $$x\in \mathbb{R}.$$
Множества решений различны, значит, уравнения неравносильны.
$$x^2+2x+1=0 \quad \Rightarrow \quad (x+1)^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1,$$
$$x+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1.$$
Уравнения равносильны.
$$\frac{x^2-1}{x+1}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-1=(x-1)(x+1)=0,\quad x\ne -1.$$
Отсюда $$x=1.$$
$$x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$
Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
$$\frac{x^2-9}{x+2}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-9=(x-3)(x+3)=0,\quad x\ne -2.$$
Отсюда $$x=3 \text{ или } x=-3.$$
$$x^2-9=0 \quad \Rightarrow \quad x=3 \text{ или } x=-3.$$
Ограничение $$x\ne -2$$ на найденные корни не влияет, значит, уравнения равносильны.
Ответ
1) равносильны; 2) неравносильны; 3) равносильны; 4) равносильны; 5) неравносильны; 6) равносильны; 7) неравносильны; 8) равносильны; 9) равносильны; 10) равносильны.
