Упр.39.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите точки минимума и максимума функции:
1) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x$$;
4) $$f(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2-7x+4$$;
2) $$f(x)=4x-\frac{1}{3}x^3$$;
5) $$f(x)=2x^4-4x^3+2$$;
3) $$f(x)=-x^2+4x-3$$;
6) $$f(x)=2+x^2+2x^3-2x^4$$.
1) $$f(x)=\frac13x^3-x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<1.$$
Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.
2) $$f(x)=4x-\frac13x^3$$
$$f'(x)=4-x^2=(2-x)(2+x).$$
Критические точки: $$x=-2,\; x=2.$$
$$f'(x)>0 \text{ при } -2<x<2,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>2.$$
Следовательно, в точке $$x=-2$$ — минимум, в точке $$x=2$$ — максимум.
3) $$f(x)=-x^2+4x-3$$
$$f'(x)=-2x+4.$$
$$f'(x)=0 \iff -2x+4=0 \iff x=2.$$
Так как парабола ветвями вниз, то в точке $$x=2$$ функция имеет максимум.
4) $$f(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2-7x+4$$
$$f'(x)=x^2+6x-7=(x+7)(x-1).$$
Критические точки: $$x=-7,\; x=1.$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-7 \text{ и } x>1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -7<x<1.$$
Значит, в точке $$x=-7$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.
5) $$f(x)=2x^4-4x^3+2$$
$$f'(x)=8x^3-12x^2=4x^2(2x-3).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=\frac32.$$
Так как $$4x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$2x-3$$:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<\frac32,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>\frac32.$$
Следовательно, в точке $$x=\frac32$$ — минимум.
6) $$f(x)=2+x^2+2x^3-2x^4$$
$$f'(x)=2x+6x^2-8x^3=2x(1+3x-4x^2).$$
$$1+3x-4x^2=-(4x^2-3x-1)=-(4x+1)(x-1).$$
Тогда
$$f'(x)=-2x(4x+1)(x-1).$$
Критические точки: $$x=-\frac14,\; x=0,\; x=1.$$
По знакам производной получаем:
$$f'(x)>0 \text{ на } \left(-\infty,-\frac14\right),\qquad f'(x)<0 \text{ на } \left(-\frac14,0\right),$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (0,1),\qquad f'(x)<0 \text{ на } (1,+\infty).$$
Значит, в точках $$x=-\frac14$$ и $$x=1$$ — максимумы, а в точке $$x=0$$ — минимум.
Ответ: 1) максимум $$x=-1$$, минимум $$x=1$$; 2) минимум $$x=-2$$, максимум $$x=2$$; 3) максимум $$x=2$$; 4) максимум $$x=-7$$, минимум $$x=1$$; 5) минимум $$x=\frac32$$; 6) максимумы $$x=-\frac14$$ и $$x=1$$, минимум $$x=0$$.
