Упр.39.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=(1/3)x^3-x; 4) f(x)=(x^3)/3+3x^2-7x+4;
2) f(x)=4x-(1/3)x^3; 5) f(x)=2x^4-4x^3+2;
3) f(x)=-x^2+4x-3; 6) f(x)=2+x^2+2x^3-2x^4.
$$f(x)=\frac13x^3-x$$
$$f'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
Знак производной: $$f'(x)>0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1$$, $$f'(x)<0$$ при $$-1<x<1$$.
Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.
$$f(x)=4x-\frac13x^3$$
$$f'(x)=4-x^2=(2-x)(2+x)$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=2$$.
$$f'(x)>0$$ при $$-2<x<2$$, $$f'(x)<0$$ при $$x<-2$$ и $$x>2$$.
Значит, в точке $$x=-2$$ — минимум, в точке $$x=2$$ — максимум.
$$f(x)=-x^2+4x-3$$
$$f'(x)=-2x+4$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=2$$
При $$x<2$$ имеем $$f'(x)>0$$, при $$x>2$$ — $$f'(x)<0$$.
Следовательно, в точке $$x=2$$ — максимум.
$$f(x)=\frac{x^3}{3}+3x^2-7x+4$$
$$f'(x)=x^2+6x-7=(x+7)(x-1)$$
Критические точки: $$x=-7$$ и $$x=1$$.
$$f'(x)>0$$ при $$x<-7$$ и $$x>1$$, $$f'(x)<0$$ при $$-7<x<1$$.
Значит, в точке $$x=-7$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.
$$f(x)=2x^4-4x^3+2$$
$$f'(x)=8x^3-12x^2=4x^2(2x-3)$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac32$$.
Так как $$4x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$2x-3$$: $$f'(x)<0$$ при $$x<\frac32$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>\frac32$$.
Следовательно, в точке $$x=\frac32$$ — минимум.
$$f(x)=2+x^2+2x^3-2x^4$$
$$f'(x)=2x+6x^2-8x^3=2x(1+3x-4x^2)=-2x(4x^2-3x-1)$$
$$4x^2-3x-1=(4x+1)(x-1)$$, поэтому
$$f'(x)=-2x(4x+1)(x-1)$$
Критические точки: $$x=-\frac14,\;0,\;1$$.
По знакам производной получаем: в точке $$x=-\frac14$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.
Ответ
1) $$x_{\max}=-1,\; x_{\min}=1$$; 2) $$x_{\min}=-2,\; x_{\max}=2$$; 3) $$x_{\max}=2$$; 4) $$x_{\max}=-7,\; x_{\min}=1$$; 5) $$x_{\min}=\frac32$$; 6) $$x_{\min}=-\frac14,\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=1$$.
