Упр.39.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите точки минимума и максимума функции:
1) $$f(x)=0{,}5x^4$$; 4) $$f(x)=x^4-8x^2+5$$; 2) $$f(x)=x^2-6x$$; 5) $$f(x)=x^3-6x^2-15x+7$$; 3) $$f(x)=12x-x^3$$; 6) $$f(x)=x^2-\frac{x^4}{2}$$.
Найдём производные и определим, где функция возрастает и убывает.
$$f(x)=0{,}5x^4$$
$$f'(x)=0{,}5\cdot 4x^3=2x^3$$
$$2x^3=0 \Rightarrow x=0$$
При $$x<0$$ имеем $$f'(x)<0$$, при $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=0$$ функция имеет минимум.
Ответ: $$x_{\min}=0$$.
$$f(x)=x^2-6x$$
$$f'(x)=2x-6$$
$$2x-6=0 \Rightarrow x=3$$
При $$x<3$$ имеем $$f'(x)<0$$, при $$x>3$$ имеем $$f'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=3$$ функция имеет минимум.
Ответ: $$x_{\min}=3$$.
$$f(x)=12x-x^3$$
$$f'(x)=12-3x^2$$
$$12-3x^2=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
Знак производной меняется так: при $$x<-2$$ $$f'(x)<0$$, при $$-2<x<2$$ $$f'(x)>0$$, при $$x>2$$ $$f'(x)<0$$. Значит, в точке $$x=-2$$ — минимум, в точке $$x=2$$ — максимум.
Ответ: $$x_{\min}=-2,\; x_{\max}=2$$.
$$f(x)=x^4-8x^2+5$$
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-2,\;0,\;2$$
Исследуем знак производной: функция убывает на $$(-\infty,-2)$$, возрастает на $$(-2,0)$$, убывает на $$(0,2)$$, возрастает на $$(2,+\infty)$$. Значит, в точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ — минимумы, в точке $$x=0$$ — максимум.
Ответ: $$x_{\min}=-2,\; x_{\min}=2,\; x_{\max}=0$$.
$$f(x)=x^3-6x^2-15x+7$$
$$f'(x)=3x^2-12x-15=3(x^2-4x-5)=3(x+1)(x-5)$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\;5$$
При $$x<-1$$ и $$x>5$$ производная положительна, а при $$-1<x<5$$ отрицательна. Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=5$$ — минимум.
Ответ: $$x_{\max}=-1,\; x_{\min}=5$$.
$$f(x)=x^2-\dfrac{x^4}{2}$$
$$f'(x)=2x-2x^3=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\;0,\;1$$
Знак производной: на $$(-\infty,-1)$$ она положительна, на $$(-1,0)$$ отрицательна, на $$(0,1)$$ положительна, на $$(1,+\infty)$$ отрицательна. Значит, в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ — максимумы, в точке $$x=0$$ — минимум.
Ответ: $$x_{\min}=0,\; x_{\max}=-1,\; x_{\max}=1$$.
