Упр.39.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=0,5x^4; 4) f(x)=x^4-8x^2+5;
2) f(x)=x^2-6x; 5) f(x)=x^3-6x^2-15x+7;
3) f(x)=12x-x^3; 6) f(x)=x^2-(x^4)/2.
$$f(x)=0{,}5x^4$$
$$f'(x)=0{,}5\cdot 4x^3=2x^3$$
$$f'(x)=0 \iff x=0$$
При $$x<0$$ производная отрицательна, при $$x>0$$ — положительна, значит в точке $$x=0$$ функция убывает, а затем возрастает. Следовательно, это точка минимума.
$$x_{\min}=0$$
$$f(x)=x^2-6x$$
$$f'(x)=2x-6$$
$$f'(x)=0 \iff 2x-6=0 \iff x=3$$
При $$x<3$$ производная отрицательна, при $$x>3$$ — положительна, значит в точке $$x=3$$ функция имеет минимум.
$$x_{\min}=3$$
$$f(x)=12x-x^3$$
$$f'(x)=12-3x^2$$
$$f'(x)=0 \iff 12-3x^2=0 \iff x^2=4 \iff x=\pm 2$$
Знак производной меняется так: при $$x<-2$$ она отрицательна, при $$-2<x<2$$ положительна, при $$x>2$$ снова отрицательна. Значит, в точке $$x=-2$$ — минимум, а в точке $$x=2$$ — максимум.
$$x_{\min}=-2,\quad x_{\max}=2$$
$$f(x)=x^4-8x^2+5$$
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
$$f'(x)=0 \iff x=-2,\ 0,\ 2$$
Исследуем знак производной:
- при $$x<-2$$ — $$f'(x)<0$$;
- при $$-2<x<0$$ — $$f'(x)>0$$;
- при $$0<x<2$$ — $$f'(x)<0$$;
- при $$x>2$$ — $$f'(x)>0$$.
Значит, в точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ — минимумы, а в точке $$x=0$$ — максимум.
$$x_{\min}=-2,\quad x_{\min}=2,\quad x_{\max}=0$$
$$f(x)=x^3-6x^2-15x+7$$
$$f'(x)=3x^2-12x-15=3(x^2-4x-5)=3(x+1)(x-5)$$
$$f'(x)=0 \iff x=-1,\ 5$$
При $$x<-1$$ и $$x>5$$ производная положительна, а при $$-1<x<5$$ — отрицательна. Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=5$$ — минимум.
$$x_{\max}=-1,\quad x_{\min}=5$$
$$f(x)=x^2-\frac{x^4}{2}$$
$$f'(x)=2x-2x^3=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$$
$$f'(x)=0 \iff x=-1,\ 0,\ 1$$
Исследуем знак производной:
- при $$x<-1$$ — $$f'(x)>0$$;
- при $$-1<x<0$$ — $$f'(x)<0$$;
- при $$0<x<1$$ — $$f'(x)>0$$;
- при $$x>1$$ — $$f'(x)<0$$.
Следовательно, в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ — максимумы, а в точке $$x=0$$ — минимум.
$$x_{\min}=0,\quad x_{\max}=-1,\quad x_{\max}=1$$
Ответ
1) $$x_{\min}=0$$; 2) $$x_{\min}=3$$; 3) $$x_{\min}=-2,\ x_{\max}=2$$; 4) $$x_{\min}=-2,\ x_{\min}=2,\ x_{\max}=0$$; 5) $$x_{\max}=-1,\ x_{\min}=5$$; 6) $$x_{\min}=0,\ x_{\max}=-1,\ x_{\max}=1$$.
