Упр.39.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Имеет ли критические точки функция:

1) $$f(x)=x$$; 3) $$f(x)=5$$; 5) $$f(x)=\operatorname{tg}(x)$$; 2) $$f(x)=x^5+1$$; 4) $$f(x)=\sin(x)$$; 6) $$f(x)=vx$$?

Подробный ответ

1) $$f(x)=x.$$

$$f'(x)=1.$$

Производная нигде не равна нулю и существует при всех $$x$$, значит критических точек нет.

2) $$f(x)=x^5+1.$$

$$f'(x)=5x^4.$$

Найдём точки, в которых $$f'(x)=0$$:

$$5x^4=0 \Rightarrow x=0.$$

Значит, критическая точка есть: $$x=0.$$

3) $$f(x)=5.$$

$$f'(x)=0.$$

Производная равна нулю при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит каждая точка области определения является критической.

4) $$f(x)=\sin x.$$

$$f'(x)=\cos x.$$

Найдём точки, где $$f'(x)=0$$:

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно, критические точки: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$

5) $$f(x)=\tg x.$$

Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Производная нигде не равна нулю, а в точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ функция не определена. Поэтому критических точек нет.

6) $$f(x)=\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Производная существует только при $$x>0$$ и не равна нулю. В точке $$x=0$$ функция определена, но производная не существует, значит это критическая точка.