Упр.39.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=x^2 v(x+2); 2) f(x)=(x-2)^2 vx; 3) f(x)=(3x+1)/v(x-1).
$$f(x)=x^2\sqrt{x+2}$$
Область определения: $$x+2\ge 0,$$ то есть $$x\ge -2.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=(x^2)’\sqrt{x+2}+x^2(\sqrt{x+2})’ $$
$$ f'(x)=2x\sqrt{x+2}+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} $$
$$ f'(x)=\frac{4x(x+2)+x^2}{2\sqrt{x+2}}=\frac{5x^2+8x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}} $$
На области определения знаменатель положителен при $$x>-2,$$ поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$x(5x+8).$$
Критические точки: $$x=-\frac{8}{5}$$ и $$x=0.$$
Знак производной:
при $$x\in[-2;-\frac{8}{5})$$ имеем $$f'(x)>0,$$
при $$x\in(-\frac{8}{5};0)$$ имеем $$f'(x)<0,$$
при $$x\in(0;+\infty)$$ имеем $$f'(x)>0.$$Значит, функция возрастает на $$[-2;-\frac{8}{5}]$$ и $$[0;+\infty),$$ убывает на $$[-\frac{8}{5};0].$$
В точке $$x=-\frac{8}{5}$$ — максимум, в точке $$x=0$$ — минимум.
$$f(x)=(x-2)^2\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=((x-2)^2)’\sqrt{x}+(x-2)^2(\sqrt{x})’ $$
$$ f'(x)=2(x-2)\sqrt{x}+(x-2)^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
$$ f'(x)=\frac{4x(x-2)+(x-2)^2}{2\sqrt{x}}=\frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}} $$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак $$f'(x)$$ определяется выражением $$ (x-2)(5x-2). $$
Критические точки: $$x=\frac{2}{5}$$ и $$x=2.$$
Знак производной:
при $$x\in(0;\frac{2}{5})$$ имеем $$f'(x)>0,$$
при $$x\in(\frac{2}{5};2)$$ имеем $$f'(x)<0,$$
при $$x\in(2;+\infty)$$ имеем $$f'(x)>0.$$Следовательно, функция возрастает на $$[0;\frac{2}{5}]$$ и $$[2;+\infty),$$ убывает на $$[\frac{2}{5};2].$$
В точке $$x=\frac{2}{5}$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.
$$f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$$
Область определения: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{(3x+1)’\sqrt{x-1}-(3x+1)(\sqrt{x-1})’}{(\sqrt{x-1})^2} $$
$$ f'(x)=\frac{3\sqrt{x-1}-(3x+1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1} $$
$$ f'(x)=\frac{6(x-1)-(3x+1)}{2\sqrt{x-1}(x-1)}=-\frac{3x-7}{2\sqrt{x-1}(x-1)} $$
Так как при $$x>1$$ знаменатель положителен, знак $$f'(x)$$ противоположен знаку выражения $$3x-7.$$
Критическая точка: $$x=\frac{7}{3}.$$
Знак производной:
при $$x\in(1;\frac{7}{3})$$ имеем $$f'(x)>0,$$
при $$x\in(\frac{7}{3};+\infty)$$ имеем $$f'(x)<0.$$Значит, функция возрастает на $$[1;\frac{7}{3}]$$ и убывает на $$[\frac{7}{3};+\infty).$$
В точке $$x=\frac{7}{3}$$ — максимум.
Ответ
1) Возрастает на $$[-2;-\frac{8}{5}]$$ и $$[0;+\infty),$$ убывает на $$[-\frac{8}{5};0].$$
Точка максимума: $$x=-\frac{8}{5},$$ точка минимума: $$x=0.$$
2) Возрастает на $$[0;\frac{2}{5}]$$ и $$[2;+\infty),$$ убывает на $$[\frac{2}{5};2].$$
Точка максимума: $$x=\frac{2}{5},$$ точка минимума: $$x=2.$$
3) Возрастает на $$[1;\frac{7}{3}]$$, убывает на $$[\frac{7}{3};+\infty).$$
Точка максимума: $$x=\frac{7}{3}.$$
