Упр.39.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
1) $$f(x)=x^2\sqrt{x+2}$$;
2) $$f(x)=(x-2)^2\sqrt{x}$$;
3) $$f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$$.
1) $$f(x)=x^2\sqrt{x+2}$$
Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x\sqrt{x+2}+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}=\frac{4x(x+2)+x^2}{2\sqrt{x+2}}=\frac{5x^2+8x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}}.$$
Так как при $$x>-2$$ знаменатель положителен, знак производной определяется числителем $$x(5x+8).$$
Критические точки: $$x=-\frac85,\; x=0.$$
Знак $$f'(x)$$:
$$f'(x)>0 \text{ на } \left[-2;-\frac85\right)\cup(0;+\infty),\qquad f'(x)<0 \text{ на } \left(-\frac85;0\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-2;-\frac85\right]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$\left[-\frac85;0\right].$$
В точке $$x=-\frac85$$ — максимум, в точке $$x=0$$ — минимум.
2) $$f(x)=(x-2)^2\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2(x-2)\sqrt{x}+(x-2)^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4x(x-2)+(x-2)^2}{2\sqrt{x}}=\frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}}.$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $$(x-2)(5x-2).$$
Критические точки: $$x=\frac25,\; x=2.$$
Знак $$f'(x)$$:
$$f'(x)>0 \text{ на } \left(0;\frac25\right)\cup(2;+\infty),\qquad f'(x)<0 \text{ на } \left(\frac25;2\right).$$
Значит, функция возрастает на $$\left[0;\frac25\right]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$\left[\frac25;2\right].$$
В точке $$x=\frac25$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.
3) $$f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$$
Область определения: $$x-1>0,\quad x>1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{3\sqrt{x-1}-(3x+1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}=\frac{6(x-1)-(3x+1)}{2\sqrt{x-1}\,(x-1)}=-\frac{3x-7}{2\sqrt{x-1}\,(x-1)}.$$
При $$x>1$$ знаменатель положителен, поэтому знак $$f'(x)$$ противоположен знаку $$3x-7.$$
Критическая точка: $$x=\frac73.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(1;\frac73\right],$$ убывает на $$\left[\frac73;+\infty\right).$$
В точке $$x=\frac73$$ — максимум.
Ответ
1) Возрастает на $$\left[-2;-\frac85\right]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$\left[-\frac85;0\right].$$ Точки экстремума: максимум при $$x=-\frac85,$$ минимум при $$x=0.$$
2) Возрастает на $$\left[0;\frac25\right]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$\left[\frac25;2\right].$$ Точки экстремума: максимум при $$x=\frac25,$$ минимум при $$x=2.$$
3) Возрастает на $$\left(1;\frac73\right],$$ убывает на $$\left[\frac73;+\infty\right).$$ Точка экстремума: максимум при $$x=\frac73.$$
