Упр.39.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^2 v(1-x); 3) f(x)=vx/(x+1);
2) f(x)=(1-x)vx; 4) f(x)=(2x-7)/v(3-x).

1. $$f(x)=x^2\sqrt{1-x}$$

   Область определения: $$1-x\ge 0,\quad x\le 1.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2x\sqrt{1-x}+x^2\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right) =\frac{4x(1-x)-x^2}{2\sqrt{1-x}} =\frac{4x-5x^2}{2\sqrt{1-x}} =\frac{x(4-5x)}{2\sqrt{1-x}}. $$

   На области определения знаменатель положителен при $$x<1$$, поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$x(4-5x)$$.

   Критические точки: $$x=0,\quad x=\frac45.$$

   Знак производной:

   • на $$(-\infty;0)$$: $$f'(x)<0$$, функция убывает;
   • на $$\left(0;\frac45\right)$$: $$f'(x)>0$$, функция возрастает;
   • на $$\left(\frac45;1\right]$$: $$f'(x)<0$$, функция убывает.

   Следовательно, в точке $$x=0$$ — минимум, а в точке $$x=\frac45$$ — максимум.

2. $$f(x)=(1-x)\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=-\sqrt{x}+(1-x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{1-3x}{2\sqrt{x}}. $$

   При $$x>0$$ знаменатель положителен, значит знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$1-3x$$.

   Критическая точка: $$x=\frac13.$$

   Знак производной:

   • на $$\left(0;\frac13\right)$$: $$f'(x)>0$$, функция возрастает;
   • на $$\left(\frac13;+\infty\right)$$: $$f'(x)<0$$, функция убывает.

   Значит, в точке $$x=\frac13$$ функция имеет максимум.

3. $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{\left(\sqrt{x}\right)'(x+1)-\sqrt{x}\cdot(x+1)’}{(x+1)^2} =\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}. $$

   При $$x>0$$ знаменатель положителен, значит знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$1-x$$.

   Критическая точка: $$x=1.$$

   Знак производной:

   • на $$\left(0;1\right)$$: $$f'(x)>0$$, функция возрастает;
   • на $$\left(1;+\infty\right)$$: $$f'(x)<0$$, функция убывает.

   Следовательно, в точке $$x=1$$ функция имеет максимум.

4. $$f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$$

   Область определения: $$3-x>0,\quad x<3.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{(2x-7)’\sqrt{3-x}-(2x-7)\left(\sqrt{3-x}\right)’}{(\sqrt{3-x})^2} =\frac{2\sqrt{3-x}+\frac{2x-7}{2\sqrt{3-x}}}{3-x} =\frac{5-2x}{2(3-x)\sqrt{3-x}}. $$

   При $$x<3$$ знаменатель положителен, значит знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$5-2x$$.

   Критическая точка: $$x=\frac52.$$

   Знак производной:

   • на $$(-\infty;\frac52)$$: $$f'(x)>0$$, функция возрастает;
   • на $$\left(\frac52;3\right)$$: $$f'(x)<0$$, функция убывает.

   Значит, в точке $$x=\frac52$$ функция имеет максимум.

Ответ

1. $$f(x)=x^2\sqrt{1-x}$$: возрастает на $$\left(0;\frac45\right)$$, убывает на $$(-\infty;0] \cup \left[\frac45;1\right]$$; минимум при $$x=0$$, максимум при $$x=\frac45$$.
2. $$f(x)=(1-x)\sqrt{x}$$: возрастает на $$\left[0;\frac13\right]$$, убывает на $$\left[\frac13;+\infty\right)$$; максимум при $$x=\frac13$$.
3. $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$$: возрастает на $$[0;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; максимум при $$x=1$$.
4. $$f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$$: возрастает на $$(-\infty;\frac52]$$, убывает на $$\left[\frac52;3\right)$$; максимум при $$x=\frac52$$.