Упр.39.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
а) $$f(x)=x^2\sqrt{1-x}$$;
б) $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$$;
в) $$f(x)=(1-x)\sqrt{x}$$;
г) $$f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$$.
1) $$f(x)=x^2\sqrt{1-x}$$
Область определения: $$1-x\ge 0,\quad x\le 1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x\sqrt{1-x}+x^2\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right) =\frac{4x(1-x)-x^2}{2\sqrt{1-x}} =\frac{4x-5x^2}{2\sqrt{1-x}}.$$
На области определения знаменатель положителен при $$x<1$$, поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем:
$$4x-5x^2=x(4-5x).$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in\left(0;\frac45\right),\qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(\frac45;1\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac45\right]$$ и убывает на $$\left(-\infty;0\right]\cup\left[\frac45;1\right].$$
Точки экстремума: $$x_{\min}=0,\quad x_{\max}=\frac45.$$
2) $$f(x)=(1-x)\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-(\sqrt{x})+(1-x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{1-3x}{2\sqrt{x}}.$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, значит знак производной определяется числителем $$1-3x$$:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in\left(0;\frac13\right),\qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in\left(\frac13;+\infty\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac13\right]$$ и убывает на $$\left[\frac13;+\infty\right).$$
Точка экстремума: $$x_{\max}=\frac13.$$
3) $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{\left(\sqrt{x}\right)'(x+1)-\sqrt{x}\cdot(x+1)’}{(x+1)^2} =\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$1-x$$:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(0;1),\qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(1;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
Точка экстремума: $$x_{\max}=1.$$
4) $$f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$$
Область определения: $$3-x>0,\quad x<3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x-7)’\sqrt{3-x}-(2x-7)\left(\sqrt{3-x}\right)’}{(\sqrt{3-x})^2}$$
$$f'(x)=\frac{2\sqrt{3-x}-(2x-7)\left(-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\right)}{3-x} =\frac{4(3-x)+(2x-7)}{2\sqrt{3-x}(3-x)} =\frac{5-2x}{2\sqrt{3-x}(3-x)}.$$
На области определения знаменатель положителен, значит знак производной определяется числителем $$5-2x$$:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;\frac52\right),\qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in\left(\frac52;3\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac52\right]$$ и убывает на $$\left[\frac52;3\right).$$
Точка экстремума: $$x_{\max}=\frac52.$$
Ответ: 1) возрастает на $$\left[0;\frac45\right]$$, убывает на $$\left(-\infty;0\right]\cup\left[\frac45;1\right]$$; $$x_{\min}=0,\ x_{\max}=\frac45.$$ 2) возрастает на $$\left[0;\frac13\right]$$, убывает на $$\left[\frac13;+\infty\right)$$; $$x_{\max}=\frac13.$$ 3) возрастает на $$[0;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; $$x_{\max}=1.$$ 4) возрастает на $$\left(-\infty;\frac52\right]$$, убывает на $$\left[\frac52;3\right)$$; $$x_{\max}=\frac52.$$
