Упр.39.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 39.21. При каких значениях a функция y=(1/3)x^3-2ax^2+4x-15 имеет только одну критическую точку?

Найдём производную функции:

$$y=\frac13x^3-2ax^2+4x-15$$

$$y'(x)=\left(\frac13x^3\right)’-(2ax^2)’+(4x-15)’=x^2-4ax+4.$$

Функция имеет только одну критическую точку тогда и только тогда, когда уравнение $$y'(x)=0$$ имеет единственный корень. Это возможно, если дискриминант равен нулю:

$$D=(-4a)^2-4\cdot 1\cdot 4=16a^2-16.$$

Приравняем его к нулю:

$$16a^2-16=0$$

$$a^2-1=0$$

$$a=\pm 1.$$

Ответ

$$a\in\{-1;\,1\}.$$