Упр.39.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 39.20. При каких значениях a функция y=x^3-3ax^2+27x-5 имеет только одну критическую точку?

Найдём производную функции:

$$y’=3x^2-6ax+27.$$

Функция имеет только одну критическую точку тогда и только тогда, когда уравнение $$3x^2-6ax+27=0$$ имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 27=36a^2-324.$$

Приравниваем дискриминант к нулю:

$$36a^2-324=0$$

$$36a^2=324$$

$$a^2=9$$

$$a=\pm 3.$$

Значит, функция имеет только одну критическую точку при $$a=-3$$ и $$a=3$$.

Ответ

$$a\in\{-3;\,3\}.$$