Упр.39.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=cos(x)+x/2;
2) f(x)=sin(2x)-xv2.
1) $$f(x)=\cos x+\frac{x}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\sin x+\frac12.$$
Для возрастания функции нужно, чтобы $$f'(x)\ge 0$$:
$$-\sin x+\frac12\ge 0,$$
$$\sin x\le \frac12.$$
Это выполняется на промежутках
$$\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{13\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Для убывания функции нужно, чтобы $$f'(x)\le 0$$:
$$-\sin x+\frac12\le 0,$$
$$\sin x\ge \frac12.$$
Отсюда
$$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
В точках, где производная меняет знак, получаем экстремумы:
$$x_{\min}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$f(x)=\sin 2x-x\sqrt2$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos 2x-\sqrt2.$$
Для возрастания функции:
$$2\cos 2x-\sqrt2\ge 0,$$
$$\cos 2x\ge \frac{\sqrt2}{2}.$$
Тогда
$$2x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
то есть
$$x\in\left[-\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{\pi}{8}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Для убывания функции:
$$2\cos 2x-\sqrt2\le 0,$$
$$\cos 2x\le \frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$2x\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
значит,
$$x\in\left[\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{7\pi}{8}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно, точки экстремума:
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) Возрастает на $$\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{13\pi}{6}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$; $$x_{\min}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$ $$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$
2) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{\pi}{8}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{7\pi}{8}+\pi n\right]$$; $$x_{\min}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,$$ $$x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$
