Упр.39.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
1) $$f(x)=\cos(x)+\frac{x}{2}$$;
2) $$f(x)=\sin(2x)-x\sqrt{2}$$.
1) $$f(x)=\cos x+\frac{x}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(\cos x)’ + \left(\frac{x}{2}\right)’=-\sin x+\frac12.$$
Исследуем знак производной:
$$-\sin x+\frac12 \ge 0 \iff \sin x \le \frac12.$$
Равенство $$\sin x=\frac12$$ достигается при
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно, функция возрастает там, где $$\sin x\le \frac12,$$ то есть на промежутках
$$\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{13\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
а убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки экстремума:
$$x_{\min}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$f(x)=\sin 2x-x\sqrt2$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(\sin 2x)’-(x\sqrt2)’=2\cos 2x-\sqrt2.$$
Исследуем знак производной:
$$2\cos 2x-\sqrt2 \ge 0 \iff \cos 2x \ge \frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$2x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
значит, функция возрастает на промежутках
$$\left[-\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{\pi}{8}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Убывает функция на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{7\pi}{8}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки экстремума:
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$f(x)=\cos x+\frac{x}{2}$$: возрастает на $$\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{13\pi}{6}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$, $$x_{\min}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$ $$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$
2) $$f(x)=\sin 2x-x\sqrt2$$: возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{\pi}{8}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{8}+\pi n;\,\frac{7\pi}{8}+\pi n\right]$$, $$x_{\min}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,$$ $$x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$
