Упр.39.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=x/2-sin(x);
2) f(x)=cos(2x)-xv3.

1. $$f(x)=\frac{x}{2}-\sin x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac12-\cos x.$$

   Функция возрастает, когда $$f'(x)\ge 0$$, то есть

   $$\frac12-\cos x\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x\le \frac12.$$

   Это выполняется при

   $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция убывает, когда $$f'(x)\le 0$$, то есть

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z.$$

   Точки экстремума находятся из уравнения $$f'(x)=0$$:

   $$\frac12-\cos x=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x=\frac12.$$

   Отсюда

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   В точках $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — максимум, а в точках $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — минимум.

2. $$f(x)=\cos 2x-x\sqrt3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(\cos 2x)’-\sqrt3(x)’=-2\sin 2x-\sqrt3.$$

   Функция возрастает, когда $$f'(x)\ge 0$$:

   $$-2\sin 2x-\sqrt3\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x\le -\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$2x\in\left[\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z,$$

   значит

   $$x\in\left[\frac{2\pi}{3}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция убывает, когда $$f'(x)\le 0$$:

   $$-2\sin 2x-\sqrt3\le 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x\ge -\frac{\sqrt3}{2},$$

   то есть

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z.$$

   Точки экстремума получаем из уравнения $$f'(x)=0$$:

   $$-2\sin 2x-\sqrt3=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$2x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$

   то есть

   $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   В точках $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — максимум, а в точках $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$ — минимум.

Ответ

1) Возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$; $$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$x_{\max}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.

2) Возрастает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right]$$; $$x_{\min}=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$, $$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.