Упр.39.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1. $$f(x)=\frac{x}{2}-\sin x$$;
2. $$f(x)=\cos(2x)-x\sqrt{3}$$.

1) $$f(x)=\frac{x}{2}-\sin x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac12-\cos x.$$

Функция возрастает, когда $$f'(x)\ge 0$$, то есть

$$\frac12-\cos x\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x\le \frac12.$$

Отсюда

$$x\in \left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb Z.$$

Функция убывает, когда $$f'(x)\le 0$$, то есть

$$x\in \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb Z.$$

Точки экстремума получаем из уравнения

$$\frac12-\cos x=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x=\frac12,$$

то есть

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

В точках $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — минимум, а в точках $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — максимум.

2) $$f(x)=\cos 2x-x\sqrt3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\cos 2x)’-\sqrt3(x)’=-2\sin 2x-\sqrt3.$$

Функция возрастает, когда

$$-2\sin 2x-\sqrt3\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x\le -\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$2x\in \left[\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb Z,$$

значит

$$x\in \left[\frac{2\pi}{3}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right], \quad n\in \mathbb Z.$$

Функция убывает, когда

$$-2\sin 2x-\sqrt3\le 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x\ge -\frac{\sqrt3}{2},$$

то есть

$$x\in \left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right], \quad n\in \mathbb Z.$$

Точки экстремума находятся из уравнения

$$-2\sin 2x-\sqrt3=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

то есть

$$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+\pi n.$$

В точках $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$ — минимум, а в точках $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — максимум.

Ответ

1) Возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$, $$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$x_{\max}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.

2) Возрастает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right]$$, $$x_{\min}=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$, $$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.