Упр.39.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1. $$f(x)=\frac{x^2-6x}{x+2}$$;
2. $$f(x)=x+\frac{9}{x}$$;
3. $$f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}$$;
4. $$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$$;
5. $$f(x)=\frac{1}{16-x^2}$$;
6. $$f(x)=2x-\sqrt{x}$$.

1) $$f(x)=\frac{x^2-6x}{x+2}$$

Область определения: $$x\ne -2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(2x-6)(x+2)-(x^2-6x)}{(x+2)^2} =\frac{x^2+4x-12}{(x+2)^2} =\frac{(x+6)(x-2)}{(x+2)^2}.$$

Так как $$(x+2)^2>0$$ при $$x\ne -2,$$ знак производной определяется числителем $$(x+6)(x-2).$$

Тогда:

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty),$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-6;-2)\cup(-2;2).$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-6)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(-6;-2)\cup(-2;2).$$

В точке $$x=-6$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-,$$ значит, это точка максимума. В точке $$x=2$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+,$$ значит, это точка минимума.

2) $$f(x)=x+\frac{9}{x}$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем $$x^2-9.$$

Тогда:

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty),$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-3;0)\cup(0;3).$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(3;+\infty),$$ убывает на $$(-3;0)\cup(0;3).$$

Точка $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

3) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}$$

Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2x(x^2+3)-x^2\cdot 2x}{(x^2+3)^2} =\frac{6x}{(x^2+3)^2}.$$

Так как $$(x^2+3)^2>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется знаком $$x.$$

Тогда:

$$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+,$$ значит, это точка минимума.

4) $$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$$

Область определения: $$x\ne -1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\bigl((x+1)^{-2}\bigr)’=-2(x+1)^{-3}=-\frac{2}{(x+1)^3}.$$

Тогда:

$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>-1.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty).$$

Точек экстремума нет, так как в точке $$x=-1$$ функция не определена.

5) $$f(x)=\frac{1}{16-x^2}$$

Область определения: $$16-x^2\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 4.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\bigl(16-x^2\bigr)^{-1}{}’=\frac{2x}{(16-x^2)^2}.$$

Так как $$(16-x^2)^2>0$$ при $$x\ne \pm 4,$$ знак производной определяется знаком $$x.$$

Тогда:

$$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$

С учётом разрывов в точках $$x=\pm 4$$ получаем:

$$f(x) \text{ убывает на } (-\infty;-4)\cup(-4;0),$$

$$f(x) \text{ возрастает на } (0;4)\cup(4;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+,$$ значит, это точка минимума.

6) $$f(x)=2x-\sqrt{x}$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную при $$x>0$$:

$$f'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}.$$

Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, знак производной определяется числителем $$4\sqrt{x}-1.$$

Решим неравенство:

$$4\sqrt{x}-1\ge 0 \iff \sqrt{x}\ge \frac14 \iff x\ge \frac{1}{16}.$$

Следовательно, функция убывает на $$\left[0;\frac{1}{16}\right],$$ возрастает на $$\left[\frac{1}{16};+\infty\right).$$

В точке $$x=\frac{1}{16}$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+,$$ значит, это точка минимума.

Ответ

1) возрастает на $$(-\infty;-6)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(-6;-2)\cup(-2;2);$$ максимум при $$x=-6,$$ минимум при $$x=2.$$

2) возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(3;+\infty),$$ убывает на $$(-3;0)\cup(0;3);$$ максимум при $$x=-3,$$ минимум при $$x=3.$$

3) убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;+\infty);$$ минимум при $$x=0.$$

4) возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty);$$ точек экстремума нет.

5) убывает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0),$$ возрастает на $$(0;4)\cup(4;+\infty);$$ минимум при $$x=0.$$

6) убывает на $$\left[0;\frac{1}{16}\right],$$ возрастает на $$\left[\frac{1}{16};+\infty\right);$$ минимум при $$x=\frac{1}{16}.$$