Упр.39.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=(x^2-6x)/(x+2); 3) f(x)=(x^2)/(x^2+3); 5) f(x)=1/(16-x^2);
2) f(x)=x+9/x; 4) f(x)=1/(x+1)^2; 6) f(x)=2x-vx.
$$f(x)=\dfrac{x^2-6x}{x+2}$$
Область определения: $$x\ne -2.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{(2x-6)(x+2)-(x^2-6x)}{(x+2)^2} =\frac{x^2+4x-12}{(x+2)^2} =\frac{(x+6)(x-2)}{(x+2)^2}. $$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne -2,$$ знак производной определяется числителем.
$$f'(x)>0$$ при $$x<-6$$ и $$x>2,$$
$$f'(x)<0$$ при $$-6<x<-2$$ и $$-2<x<2.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-6]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[-6;-2)\cup(-2;2].$$
В точке $$x=-6$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.
$$f(x)=x+\dfrac{9}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем.
$$f'(x)>0$$ при $$x<-3$$ и $$x>3,$$
$$f'(x)<0$$ при $$-3<x<0$$ и $$0<x<3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-3;0)\cup(0;3].$$
В точке $$x=-3$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.
$$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+3}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{2x(x^2+3)-x^2\cdot 2x}{(x^2+3)^2} =\frac{6x}{(x^2+3)^2}. $$
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной определяется числителем.
$$f'(x)<0$$ при $$x<0,$$
$$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0],$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ — минимум.
$$f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$$
Область определения: $$x\ne -1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{(x+1)^3}.$$
$$f'(x)>0$$ при $$x<-1,$$
$$f'(x)<0$$ при $$x>-1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty).$$
Точек экстремума нет.
$$f(x)=\dfrac{1}{16-x^2}$$
Область определения: $$x\ne \pm 4.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x}{(16-x^2)^2}.$$
Знаменатель положителен при всех допустимых $$x,$$ поэтому знак производной определяется числителем.
$$f'(x)<0$$ при $$x<0,$$
$$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0],$$ возрастает на $$[0;4)\cup(4;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ — минимум.
$$f(x)=2x-\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную при $$x>0$$:
$$f'(x)=2-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}.$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, значит знак производной определяется числителем.
$$f'(x)<0$$ при $$0<x<\dfrac{1}{16},$$
$$f'(x)>0$$ при $$x>\dfrac{1}{16}.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left[0;\dfrac{1}{16}\right],$$ возрастает на $$\left[\dfrac{1}{16};+\infty\right).$$
В точке $$x=\dfrac{1}{16}$$ — минимум.
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;-6]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[-6;-2)\cup(-2;2],$$
$$x_{\max}=-6,$$ $$x_{\min}=2;$$
2) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-3;0)\cup(0;3],$$
$$x_{\max}=-3,$$ $$x_{\min}=3;$$
3) убывает на $$(-\infty;0],$$ возрастает на $$[0;+\infty),$$ $$x_{\min}=0;$$
4) возрастает на $$(-\infty;-1),$$ убывает на $$(-1;+\infty),$$ точек экстремума нет;
5) убывает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0],$$ возрастает на $$[0;4)\cup(4;+\infty),$$ $$x_{\min}=0;$$
6) убывает на $$\left[0;\dfrac{1}{16}\right],$$ возрастает на $$\left[\dfrac{1}{16};+\infty\right),$$ $$x_{\min}=\dfrac{1}{16}.$$
