Упр.39.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
1) $$f(x)=x+\frac{4}{x^2}$$;
2) $$f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$$;
3) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$;
4) $$f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{9}{x^2}$$;
5) $$f(x)=\frac{x-1}{x^2}$$;
6) $$f(x)=-\frac{1}{(x-3)^2}$$;
7) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$;
8) $$f(x)=2vx-x$$.
1) $$f(x)=x+\frac{4}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1+4\left(x^{-2}\right)’=1-8x^{-3}=1-\frac{8}{x^3}=\frac{x^3-8}{x^3}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}.$$
Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$\frac{x-2}{x}.$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;2).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(0;2).$$
В точке $$x=2$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума:
$$f(2)=2+\frac{4}{4}=3.$$
2) $$f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x)(x-2)-(x^2-3)\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+3}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}.$$
Так как $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется выражением $$(x-1)(x-3).$$
Получаем:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(1;2)\cup(2;3).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;1)\cup(3;+\infty),$$ убывает на $$(1;2)\cup(2;3).$$
Точки экстремума:
$$x=1$$ — точка максимума, $$f(1)=\frac{1-3}{1-2}=2.$$
$$x=3$$ — точка минимума, $$f(3)=\frac{9-3}{3-2}=6.$$
3) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(x^2+1\right)^{-1}{}’=-1\cdot\left(x^2+1\right)^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$
Так как $$(x^2+1)^2>0,$$ знак производной определяется числителем $$-2x.$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0),$$ убывает на $$(0;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ достигается максимум:
$$f(0)=1.$$
4) $$f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{9}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{4}\cdot 2x+9\cdot(-2x^{-3})=\frac{x}{2}-\frac{18}{x^3}=\frac{x^4-36}{2x^3}=\frac{(x^2-6)(x^2+6)}{2x^3}.$$
Так как $$x^2+6>0,$$ знак производной определяется выражением $$\frac{x^2-6}{x}.$$
Получаем:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt6)\cup(0;\sqrt6).$$
Значит, функция возрастает на $$[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt6)\cup(0;\sqrt6).$$
Точки минимума:
$$f(\pm\sqrt6)=\frac{6}{4}+\frac{9}{6}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3.$$
5) $$f(x)=\frac{x-1}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1\cdot x^2-(x-1)\cdot 2x}{x^4}=\frac{x^2-2x^2+2x}{x^4}=\frac{2x-x^2}{x^4}=\frac{x(2-x)}{x^4}.$$
Так как $$x^4>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется выражением $$x(2-x).$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(0;2),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(0;2),$$ убывает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$
В точке $$x=2$$ достигается максимум:
$$f(2)=\frac{2-1}{4}=\frac14.$$
6) $$f(x)=-\frac{1}{(x-3)^2}$$
Область определения: $$x\ne 3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\left((x-3)^{-2}\right)’=-\left(-2(x-3)^{-3}\right)=\frac{2}{(x-3)^3}.$$
Тогда
$$f'(x)<0 \text{ при } x<3,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>3.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;3),$$ возрастает на $$(3;+\infty).$$
Точек экстремума нет.
7) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$$
Область определения: $$x\ne \pm 4.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x)(x^2-16)-x^2\cdot 2x}{(x^2-16)^2}=\frac{2x^3-32x-2x^3}{(x^2-16)^2}=\frac{-32x}{(x^2-16)^2}.$$
Так как $$(x^2-16)^2>0$$ при $$x\ne \pm 4,$$ знак производной определяется знаком $$-x.$$
Получаем:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x>0.$$
С учётом разрывов функции:
$$f(x) \text{ возрастает на } (-\infty;-4)\cup(-4;0),$$
$$f(x) \text{ убывает на } (0;4)\cup(4;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ достигается максимум:
$$f(0)=0.$$
8) $$f(x)=2\sqrt{x}-x$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную при $$x>0$$:
$$f'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<1,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ достигается максимум:
$$f(1)=2\cdot 1-1=1.$$
Ответ:
1) возрастает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(0;2);$$ минимум при $$x=2.$$
2) возрастает на $$(-\infty;1)\cup(3;+\infty),$$ убывает на $$(1;2)\cup(2;3);$$ максимум при $$x=1,$$ минимум при $$x=3.$$
3) возрастает на $$(-\infty;0),$$ убывает на $$(0;+\infty);$$ максимум при $$x=0.$$
4) возрастает на $$[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt6)\cup(0;\sqrt6);$$ минимумы при $$x=\pm\sqrt6.$$
5) возрастает на $$(0;2),$$ убывает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty);$$ максимум при $$x=2.$$
6) убывает на $$(-\infty;3),$$ возрастает на $$(3;+\infty);$$ точек экстремума нет.
7) возрастает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0),$$ убывает на $$(0;4)\cup(4;+\infty);$$ максимум при $$x=0.$$
8) возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty);$$ максимум при $$x=1.$$
