Упр.39.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=x+4/x^2; 4) f(x)=(x^2)/4+9/x^2; 7) f(x)=(x^2)/(x^2-16);
2) f(x)=(x^2-3)/(x-2); 5) f(x)=(x-1)/x^2; 8) f(x)=2vx-x.
3) f(x)=1/(x^2+1); 6) f(x)=-1/(x-3)^2;
1) $$f(x)=x+\frac{4}{x^2}, \quad x\ne 0$$
$$f'(x)=1-\frac{8}{x^3}=\frac{x^3-8}{x^3}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}$$
Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$\frac{x-2}{x}$$.
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;2)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$.
В точке $$x=2$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.
2) $$f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}, \quad x\ne 2$$
$$f'(x)=\frac{(2x)(x-2)-(x^2-3)}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$$
Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2$$, знак производной определяется числителем.
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in[1;2)\cup(2;3]$$
Функция возрастает на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[1;2)\cup(2;3]$$.
Точка $$x=1$$ — точка максимума, точка $$x=3$$ — точка минимума.
3) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
$$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$$
Так как знаменатель всегда положителен, то
$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>0$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$.
Точка максимума: $$x=0$$.
4) $$f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{9}{x^2}, \quad x\ne 0$$
$$f'(x)=\frac{x}{2}-\frac{18}{x^3}=\frac{x^4-36}{2x^3}=\frac{(x^2-6)(x^2+6)}{2x^3}$$
Так как $$x^2+6>0$$, знак производной определяется выражением $$\frac{x^2-6}{x}$$.
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty)$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt6]\cup(0;\sqrt6]$$
Функция возрастает на $$[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-\sqrt6]\cup(0;\sqrt6]$$.
Точки минимума: $$x=-\sqrt6$$ и $$x=\sqrt6$$.
5) $$f(x)=\frac{x-1}{x^2}, \quad x\ne 0$$
$$f'(x)=\frac{x^2-2x(x-1)}{x^4}=\frac{2x-x^2}{x^4}=\frac{x(2-x)}{x^4}$$
Так как $$x^4>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется выражением $$x(2-x)$$.
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(0;2)$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$
Функция возрастает на $$[0;2]$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$.
Точка максимума: $$x=2$$.
6) $$f(x)=-\frac{1}{(x-3)^2}, \quad x\ne 3$$
$$f'(x)=\frac{2}{(x-3)^3}$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x>3,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<3$$
Следовательно, функция возрастает на $$ (3;+\infty) $$ и убывает на $$ (-\infty;3) $$.
7) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}, \quad x\ne \pm 4$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-16)-x^2\cdot 2x}{(x^2-16)^2}=\frac{-32x}{(x^2-16)^2}$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne \pm 4$$, знак производной определяется знаком $$-x$$.
$$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0]$$, убывает на $$[0;4)\cup(4;+\infty)$$.
Точка максимума: $$x=0$$.
8) $$f(x)=2\sqrt{x}-x, \quad x\ge 0$$
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$
При $$x>0$$ знак производной определяется числителем:
$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$.
Точка максимума: $$x=1$$.
Ответ
- Возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$; $$x_{\min}=2$$.
- Возрастает на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[1;2)\cup(2;3]$$; $$x_{\max}=1$$, $$x_{\min}=3$$.
- Возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty)$$; $$x_{\max}=0$$.
- Возрастает на $$[-\sqrt6;0)\cup[\sqrt6;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-\sqrt6]\cup(0;\sqrt6]$$; $$x_{\min}=-\sqrt6,\ \sqrt6$$.
- Возрастает на $$[0;2]$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$; $$x_{\max}=2$$.
- Возрастает на $$ (3;+\infty) $$, убывает на $$ (-\infty;3) $$.
- Возрастает на $$(-\infty;-4)\cup(-4;0]$$, убывает на $$[0;4)\cup(4;+\infty)$$; $$x_{\max}=0$$.
- Возрастает на $$[0;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; $$x_{\max}=1$$.
