Упр.39.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:
   
   1) $$f(x)=6x^5-15x^4+10x^3-20$$;
   
   2) $$f(x)=\cos(x)+x$$.

1) Найдём производную:

$$f(x)=6x^5-15x^4+10x^3-20$$

$$f'(x)=30x^4-60x^3+30x^2$$

Вынесем общий множитель:

$$f'(x)=30x^2(x^2-2x+1)=30x^2(x-1)^2$$

Так как $$30>0$$, а $$x^2\ge 0$$ и $$(x-1)^2\ge 0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, то

$$f'(x)\ge 0 \quad \text{при всех } x\in \mathbb{R}.$$

Следовательно, функция не убывает на всей числовой прямой и точек экстремума не имеет.

2) Найдём производную:

$$f(x)=\cos x+x$$

$$f'(x)=-\sin x+1$$

Так как для любого $$x$$ выполняется $$\sin x\le 1$$, то

$$f'(x)=1-\sin x\ge 0 \quad \text{при всех } x\in \mathbb{R}.$$

Значит, функция не убывает на всей области определения и точек экстремума не имеет.

Ответ

1) Точек экстремума нет.
2) Точек экстремума нет.