Упр.39.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума: 1) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x-10$$; 2) $$f(x)=\sin(x)-x$$.

1) Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac13x^3-2x^2+4x-10\right)’=x^2-4x+4=(x-2)^2.$$

Так как $$(x-2)^2 \ge 0$$ при всех $$x \in \mathbb{R},$$ то функция не убывает и не меняет знак производной с «+» на «−» или наоборот. Следовательно, точек экстремума нет.

2) Найдём производную:

$$f'(x)=(\sin x-x)’=\cos x-1.$$

Поскольку $$\cos x \le 1$$ при всех $$x \in \mathbb{R},$$ то

$$f'(x)=\cos x-1 \le 0.$$

Значит, функция не возрастает и не меняет знак производной, поэтому точек экстремума нет.

Ответ

1) Точек экстремума нет.
2) Точек экстремума нет.