Упр.39.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1. а) $$f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-9$$;
   б) $$f(x)=(x+4)^4(x-3)^3$$.

1) $$f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-9$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12x^3-24x^2+12x=12x(x^2-2x+1)=12x(x-1)^2.$$

Так как $$12>0$$ и $$(x-1)^2\ge 0,$$ знак производной определяется знаком $$x.$$

Тогда:

• при $$x<0$$ имеем $$f'(x)<0,$$ функция убывает;
• при $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0,$$ функция возрастает.

В точке $$x=0$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(0)=-9.$$

2) $$f(x)=(x+4)^4(x-3)^3$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=4(x+4)^3(x-3)^3+(x+4)^4\cdot 3(x-3)^2.$$

Вынесем общий множитель:

$$f'(x)=(x+4)^3(x-3)^2\bigl(4(x-3)+3(x+4)\bigr).$$

Упростим скобки:

$$4(x-3)+3(x+4)=4x-12+3x+12=7x.$$

Значит,

$$f'(x)=7x(x+4)^3(x-3)^2.$$

Так как $$7>0$$ и $$(x-3)^2\ge 0,$$ знак производной определяется выражением $$x(x+4)^3,$$ то есть знаком произведения $$x(x+4).$$

Исследуем знак производной по промежуткам, разделённым точками $$x=-4$$ и $$x=0$$:

• при $$x<-4$$: $$f'(x)>0,$$ функция возрастает;
• при $$-4<x<0$$: $$f'(x)<0,$$ функция убывает;
• при $$x>0$$: $$f'(x)>0,$$ функция возрастает.

Следовательно, в точке $$x=-4$$ — максимум, а в точке $$x=0$$ — минимум.

Найдём значения функции:

$$f(-4)=0,$$

$$f(0)=4^4\cdot(-3)^3=256\cdot(-27)=-6912.$$

Ответ

1) Функция убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty).$$ Точка минимума: $$x=0,$$ $$f(0)=-9.$$

2) Функция возрастает на $$(-\infty;-4]$$ и $$[0;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0].$$ Точки экстремума: максимум при $$x=-4,$$ $$f(-4)=0,$$ минимум при $$x=0,$$ $$f(0)=-6912.$$