Упр.39.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-9; 2) f(x)=(x+4)^4 (x-3)^3.

1) $$f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-9$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12x^3-24x^2+12x=12x(x^2-2x+1)=12x(x-1)^2.$$

Так как $$12>0$$ и $$ (x-1)^2\ge 0 $$ при всех $$x$$, знак производной определяется знаком множителя $$x$$:

$$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума:

$$f(0)=-9.$$

2) $$f(x)=(x+4)^4(x-3)^3$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=4(x+4)^3(x-3)^3+3(x+4)^4(x-3)^2.$$

Вынесем общий множитель:

$$f'(x)=(x+4)^3(x-3)^2\bigl(4(x-3)+3(x+4)\bigr).$$

Упростим скобки:

$$f'(x)=(x+4)^3(x-3)^2(7x).$$

Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$, знак производной определяется произведением $$x(x+4)^3$$, то есть знаком $$x(x+4)$$:

$$f'(x)>0 \text{ при } x<-4 \text{ и } x>0,$$

$$f'(x)<0 \text{ при } -4<x<0.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-4]$$ и $$[0;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0].$$

В точке $$x=-4$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. В точке $$x=0$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума:

$$f(-4)=0,\qquad f(0)=-4^4\cdot 3^3=-6912.$$

Ответ

1) Функция убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; точка минимума: $$x=0$$, $$f(0)=-9$$.

2) Функция возрастает на $$(-\infty;-4]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-4;0]$$; точка максимума: $$x=-4$$, $$f(-4)=0$$; точка минимума: $$x=0$$, $$f(0)=-6912$$.