Упр.39.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1. $$f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^3+7$$;
2. $$f(x)=(x-1)^3(x-2)^2$$;
3. $$f(x)=\frac{1}{6}x^6+\frac{4}{5}x^5+x^4+3$$.

1) $$f(x)=\frac14x^4-2x^3+7$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac14x^4\right)’-\left(2x^3\right)’+(7)’=x^3-6x^2=x^2(x-6).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=6.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x-6.$$ Поэтому

$$f'(x)<0$$ при $$x<6,$$ а $$f'(x)>0$$ при $$x>6.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;6]$$ и возрастает на $$[6;+\infty).$$

В точке $$x=6$$ — минимум:

$$f(6)=\frac14\cdot 6^4-2\cdot 6^3+7=324-432+7=-101.$$

Точка экстремума: $$x_{\min}=6,$$ $$f(6)=-101.$$

2) $$f(x)=(x-1)^3(x-2)^2$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=\bigl((x-1)^3\bigr)'(x-2)^2+(x-1)^3\bigl((x-2)^2\bigr)’$$

$$f'(x)=3(x-1)^2(x-2)^2+2(x-1)^3(x-2)$$

$$f'(x)=(x-1)^2(x-2)\bigl(3(x-2)+2(x-1)\bigr)=(x-1)^2(x-2)(5x-8).$$

Критические точки: $$x=1,\; x=\frac85,\; x=2.$$

Так как $$(x-1)^2\ge 0,$$ знак производной определяется произведением $$(x-2)(5x-8).$$

Получаем:

$$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;\frac85)\cup(2;+\infty),$$

$$f'(x)<0$$ на $$\left(\frac85;2\right).$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;\frac85]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$\left[\frac85;2\right].$$

В точке $$x=\frac85$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.

$$f\!\left(\frac85\right)=\left(\frac35\right)^3\left(-\frac25\right)^2=\frac{108}{3125},$$

$$f(2)=1^3\cdot 0^2=0.$$

Точки экстремума: $$x_{\max}=\frac85,$$ $$x_{\min}=2.$$

3) $$f(x)=\frac16x^6+\frac45x^5+x^4+3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac16x^6\right)’+\left(\frac45x^5\right)’+(x^4)’+(3)’$$

$$f'(x)=x^5+4x^4+4x^3=x^3(x^2+4x+4)=x^3(x+2)^2.$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0.$$

Так как $$(x+2)^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x^3,$$ то есть знаком $$x.$$

Следовательно, $$f'(x)<0$$ при $$x<0,$$ а $$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$

Функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ — минимум:

$$f(0)=3.$$

Точка экстремума: $$x_{\min}=0,$$ $$f(0)=3.$$

Ответ

1) Убывает на $$(-\infty;6]$$, возрастает на $$[6;+\infty)$$; $$x_{\min}=6,$$ $$f(6)=-101.$$

2) Возрастает на $$(-\infty;\frac85]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$\left[\frac85;2\right]$$; $$x_{\max}=\frac85,$$ $$f\!\left(\frac85\right)=\frac{108}{3125},$$ $$x_{\min}=2,$$ $$f(2)=0.$$

3) Убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; $$x_{\min}=0,$$ $$f(0)=3.$$