Упр.39.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=(1/4)x^4-2x^3+7;
2) f(x)=(x-1)^3 (x-2)^2;
3) f(x)=(1/6)x^6+(4/5)x^5+x^4+3.
$$f(x)=\frac14x^4-2x^3+7$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\frac14x^4\right)’-\left(2x^3\right)’+(7)’=x^3-6x^2=x^2(x-6).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=6$$.
Так как $$x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$x-6$$:
$$f'(x)<0$$ при $$x<6$$, $$f'(x)>0$$ при $$x>6$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;6]$$ и возрастает на $$[6;+\infty)$$.
В точке $$x=6$$ — минимум:
$$f(6)=\frac14\cdot 6^4-2\cdot 6^3+7=324-432+7=-101.$$
$$f(x)=(x-1)^3(x-2)^2$$
Найдём производную по правилу произведения:
$$f'(x)=3(x-1)^2(x-2)^2+(x-1)^3\cdot 2(x-2).$$
Вынесем общий множитель:
$$f'(x)=(x-1)^2(x-2)\bigl(3(x-2)+2(x-1)\bigr)=(x-1)^2(x-2)(5x-8).$$
Критические точки: $$x=1,\; x=\frac85,\; x=2$$.
Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, знак производной определяется множителем $$ (x-2)(5x-8) $$.
Получаем:
$$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;\frac85)$$ и $$ (2;+\infty)$$,
$$f'(x)<0$$ на $$\left(\frac85;2\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\frac85]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$\left[\frac85;2\right].$$
Точки экстремума:
$$x_{\max}=\frac85,\qquad x_{\min}=2.$$
$$f(x)=\frac16x^6+\frac45x^5+x^4+3$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\frac16x^6\right)’+\left(\frac45x^5\right)’+(x^4)’+(3)’=x^5+4x^4+4x^3.$$
Вынесем общий множитель:
$$f'(x)=x^3(x^2+4x+4)=x^3(x+2)^2.$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, знак производной определяется множителем $$x^3$$:
$$f'(x)<0$$ при $$x<0$$, $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.
В точке $$x=0$$ — минимум:
$$f(0)=3.$$
Ответ
- Убывает на $$(-\infty;6]$$, возрастает на $$[6;+\infty)$$; $$x_{\min}=6$$, $$f(6)=-101$$.
- Возрастает на $$(-\infty;\frac85]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$\left[\frac85;2\right]$$; $$x_{\max}=\frac85$$, $$x_{\min}=2$$.
- Убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; $$x_{\min}=0$$, $$f(0)=3$$.
