Упр.38.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

• 1) $$f(x)=3x^4-20x^3+36x^2-4$$;
• 4) $$f(x)=\frac{x^2+5x}{x-4}$$;
• 2) $$f(x)=9+4x^3-x^4$$;
• 5) $$f(x)=3x+\frac{12}{x^2}$$;
• 3) $$f(x)=\frac{2x-9}{x-5}$$;
• 6) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}$$.

1) $$f(x)=3x^4-20x^3+36x^2-4$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12x^3-60x^2+72x=12x(x^2-5x+6)=12x(x-2)(x-3).$$

Критические точки: $$x=0,\;2,\;3.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)>0 \text{ на } [0;2]\cup[3;+\infty),$$

$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0]\cup[2;3].$$

Ответ: возрастает на $$[0;2]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[2;3].$$

2) $$f(x)=9+4x^3-x^4$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12x^2-4x^3=4x^2(3-x).$$

Критические точки: $$x=0,\;3.$$

Так как $$4x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$3-x.$$

Следовательно,

$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;3),$$

$$f'(x)<0 \text{ на } [3;+\infty).$$

Ответ: возрастает на $$(-\infty;3),$$ убывает на $$[3;+\infty).$$

3) $$f(x)=\dfrac{2x-9}{x-5}$$

Область определения: $$x\ne 5.$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$f'(x)=\dfrac{2(x-5)-(2x-9)\cdot 1}{(x-5)^2}=\dfrac{2x-10-2x+9}{(x-5)^2}=-\dfrac{1}{(x-5)^2}.$$

Так как $$f'(x)<0$$ при всех $$x\ne 5,$$ функция убывает на каждом промежутке области определения.

Ответ: убывает на $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$

4) $$f(x)=\dfrac{x^2+5x}{x-4}$$

Область определения: $$x\ne 4.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\dfrac{(2x+5)(x-4)-(x^2+5x)}{(x-4)^2}=\dfrac{x^2-8x-20}{(x-4)^2}.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-8x-20=(x+2)(x-10).$$

Тогда

$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-2]\cup[10;+\infty),$$

$$f'(x)<0 \text{ на } [-2;4)\cup(4;10].$$

Ответ: возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[10;+\infty),$$ убывает на $$[-2;4)\cup(4;10].$$

5) $$f(x)=3x+\dfrac{12}{x^2}$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3-\dfrac{24}{x^3}=\dfrac{3x^3-24}{x^3}= \dfrac{3(x^3-8)}{x^3}=\dfrac{3(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}.$$

Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$\dfrac{x-2}{x^3}.$$

Получаем:

$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;0)\cup[2;+\infty),$$

$$f'(x)<0 \text{ на } (0;2].$$

Ответ: возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[0;2].$$

6) $$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-4}$$

Область определения: $$x\ne \pm 2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\dfrac{2x(x^2-4)-x^2\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}.$$

Так как знаменатель положителен при $$x\ne \pm 2,$$ знак производной определяется знаком $$-x.$$

Следовательно,

$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(-2;0),$$

$$f'(x)<0 \text{ на } (0;2)\cup(2;+\infty).$$

Ответ: возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0),$$ убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty).$$