Упр.38.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=3x^4-20x^3+36x^2-4; 4) f(x)=(x^2+5x)/(x-4);
2) f(x)=9+4x^3-x^4; 5) f(x)=3x+12/x^2;
3) f(x)=(2x-9)/(x-5); 6) f(x)=(x^2)/(x^2-4).

1. $$f(x)=3x^4-20x^3+36x^2-4$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=12x^3-60x^2+72x=12x(x^2-5x+6)=12x(x-2)(x-3).$$

   Критические точки: $$x=0,\;2,\;3.$$

   Исследуем знак производной на промежутках:

   $$(-\infty;0),\ (0;2),\ (2;3),\ (3;+\infty).$$

   Получаем:

   • $$f'(x)>0$$ на $$[0;2]\cup[3;+\infty);$$
   • $$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;0]\cup[2;3].$$

2. $$f(x)=9+4x^3-x^4$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=12x^2-4x^3=4x^2(3-x).$$

   Критические точки: $$x=0,\;3.$$

   Так как $$4x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$3-x.$$

   • $$f'(x)>0$$ при $$x<3;$$
   • $$f'(x)<0$$ при $$x>3.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty).$$

3. $$f(x)=\frac{2x-9}{x-5}$$

   Область определения: $$x\ne 5.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{2(x-5)-(2x-9)}{(x-5)^2}=\frac{-1}{(x-5)^2}.$$

   Так как $$ (x-5)^2>0 $$ при $$x\ne 5,$$ то $$f'(x)<0$$ на всей области определения.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$

4. $$f(x)=\frac{x^2+5x}{x-4}$$

   Область определения: $$x\ne 4.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{(2x+5)(x-4)-(x^2+5x)}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x-20}{(x-4)^2}.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2-8x-20=(x+2)(x-10).$$

   Тогда

   $$f'(x)=\frac{(x+2)(x-10)}{(x-4)^2}.$$

   Так как знаменатель положителен при $$x\ne 4,$$ знак производной определяется числителем.

   • $$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;-2]\cup[10;+\infty);$$
   • $$f'(x)<0$$ на $$[-2;4)\cup(4;10].$$

5. $$f(x)=3x+\frac{12}{x^2}$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3-\frac{24}{x^3}=\frac{3x^3-24}{x^3}=3\cdot\frac{x^3-8}{x^3}=3\cdot\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}.$$

   Так как $$x^2+2x+4>0,$$ знак производной определяется выражением $$\frac{x-2}{x^3}.$$

   • $$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty);$$
   • $$f'(x)<0$$ на $$[0;2].$$

6. $$f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}$$

   Область определения: $$x\ne \pm 2.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-x^2\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}.$$

   Так как $$ (x^2-4)^2>0 $$ при $$x\ne \pm 2,$$ знак производной определяется знаком $$-x.$$

   • $$f'(x)>0$$ при $$x<0;$$
   • $$f'(x)<0$$ при $$x>0.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$ и убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

1. Возрастает на $$[0;2]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[2;3].$$
2. Возрастает на $$(-\infty;3],$$ убывает на $$[3;+\infty).$$
3. Убывает на $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$
4. Возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[10;+\infty),$$ убывает на $$[-2;4)\cup(4;10].$$
5. Возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[0;2].$$
6. Возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0],$$ убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty).$$