Упр.38.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1; 4) f(x)=x+9/x;
2) f(x)=(1/4)x^4-(1/3)x^3-7; 5) f(x)=(x^2-2x+1)/(3-x);
3) f(x)=x^2+2/x; 6) f(x)=x/(x^2-9).
1) $$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2).$$
Критические точки: $$x=0,\;1,\;2.$$
Исследуем знак производной на промежутках:
$$(-\infty;0),\ (0;1),\ (1;2),\ (2;+\infty).$$
Получаем:
- $$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;2]$$;
- $$f'(x)>0$$ на $$[0;1]$$ и $$[2;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2].$$
2) $$f(x)=\frac14x^4-\frac13x^3-7$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^3-x^2=x^2(x-1).$$
Критические точки: $$x=0,\;1.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x-1.$$
Следовательно, $$f'(x)<0$$ при $$x<1$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>1.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
3) $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то знак $$f'(x)$$ определяется выражением $$x^3-1.$$
$$x^3-1\ge 0 \iff x\ge 1.$$
Значит, функция возрастает на $$[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1].$$
4) $$f(x)=x+\frac{9}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то знак производной определяется числителем.
$$f'(x)\ge 0 \iff x^2-9\ge 0 \iff x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$$ и убывает на $$[-3;0)\cup(0;3].$$
5) $$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{3-x}$$
Область определения: $$x\ne 3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x-2)(3-x)-(x^2-2x+1)(-1)}{(3-x)^2} =\frac{6x-x^2-5}{(x-3)^2}.$$
Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3,$$ исследуем числитель:
$$6x-x^2-5\ge 0 \iff x^2-6x+5\le 0 \iff (x-1)(x-5)\le 0.$$
Отсюда $$1\le x\le 5.$$
С учётом точки разрыва $$x=3$$ получаем:
функция возрастает на $$[1;3)\cup(3;5]$$ и убывает на $$(-\infty;1]\cup[5;+\infty).$$
6) $$f(x)=\frac{x}{x^2-9}$$
Область определения: $$x\ne \pm 3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2-9)-x\cdot 2x}{(x^2-9)^2} =\frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}.$$
Числитель $$-x^2-9<0$$ при всех $$x,$$ а знаменатель положителен при $$x\ne \pm 3.$$
Значит, $$f'(x)<0$$ на всей области определения.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2]$$;
2) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;1]$$;
3) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$;
4) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[-3;0)\cup(0;3]$$;
5) возрастает на $$[1;3)\cup(3;5]$$, убывает на $$(-\infty;1]\cup[5;+\infty)$$;
6) убывает на $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
