Упр.38.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1. $$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1$$;
2. $$f(x)=x+\frac{9}{x}$$;
3. $$f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-7$$;
4. $$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{3-x}$$;
5. $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$;
6. $$f(x)=\frac{x}{x^2-9}$$.

1) $$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2).$$

Критические точки: $$x=0,\;1,\;2.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)>0 \text{ на } [0;1]\cup[2;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0]\cup[1;2].$$

Ответ: возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2].$$

2) $$f(x)=\frac14x^4-\frac13x^3-7$$

$$f'(x)=x^3-x^2=x^2(x-1).$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то знак производной определяется множителем $$x-1.$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x<1,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>1.$$

Ответ: возрастает на $$[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;1].$$

3) $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}, \qquad x\ne 0$$

$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}=\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ а $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется множителем $$x-1.$$

$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(0;1), \qquad f'(x)>0 \text{ на } (1;+\infty).$$

Ответ: возрастает на $$[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1].$$

4) $$f(x)=x+\frac{9}{x}, \qquad x\ne 0$$

$$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}.$$

Критические точки: $$x=-3,\;3,$$ точка разрыва: $$x=0.$$

$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-3]\cup[3;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } [-3;0)\cup(0;3].$$

Ответ: возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-3;0)\cup(0;3].$$

5) $$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{3-x}, \qquad x\ne 3$$

$$f'(x)=\frac{(2x-2)(3-x)-(x^2-2x+1)(-1)}{(3-x)^2}=\frac{6x-2x^2-6+x^2-2x+1}{(3-x)^2}=\frac{-x^2+4x-5}{(3-x)^2}.$$

Так как

$$-x^2+4x-5=-(x^2-4x+5)= -\bigl((x-2)^2+1\bigr)<0,$$

то $$f'(x)<0$$ при всех $$x\ne 3.$$

Ответ: функция убывает на $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty),$$ промежутков возрастания нет.

6) $$f(x)=\frac{x}{x^2-9}, \qquad x\ne \pm 3$$

$$f'(x)=\frac{(x^2-9)-x\cdot 2x}{(x^2-9)^2}=\frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}.$$

Числитель всегда отрицателен, знаменатель всегда положителен при $$x\ne \pm 3,$$ значит

$$f'(x)<0 \text{ на всей области определения.}$$

Ответ: функция убывает на $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty),$$ промежутков возрастания нет.