Упр.38.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=-x^2+6x-5; 3) f(x)=(1/4)x^4-2x^2+1;
2) f(x)=x^3+3x^2-9x; 4) f(x)=x^4+4x-20.
$$f(x)=-x^2+6x-5$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(-x^2+6x-5)’=-2x+6.$$
Определим знак производной:
$$-2x+6>0 \;\Rightarrow\; x<3.$$
Значит, функция возрастает при $$x<3$$ и убывает при $$x>3$$.
$$f(x)=x^3+3x^2-9x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(x^3+3x^2-9x)’=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1).$$
Исследуем знак производной:
$$3(x+3)(x-1)>0.$$
Отсюда $$x<-3$$ или $$x>1$$.
Следовательно, функция возрастает на этих промежутках, а убывает между ними.
$$f(x)=\frac14x^4-2x^2+1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\frac14x^4-2x^2+1\right)’=x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$
По знакам множителей получаем:
$$f'(x)>0 \text{ на } (-2;0)\cup(2;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(0;2).$$
$$f(x)=x^4+4x-20$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(x^4+4x-20)’=4x^3+4=4(x^3+1)=4(x+1)(x^2-x+1).$$
Так как $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x+1$$.
Следовательно,
$$f'(x)<0 \text{ при } x<-1,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>-1.$$
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;3]$$, убывает на $$[3;+\infty)$$;
2) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;1]$$;
3) возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$;
4) убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$.
