Упр.38.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55$$.

Положим $$y=x^2+2x.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид

$$y^2-(x+1)^2=55.$$

Так как $$x^2+2x+1=(x+1)^2,$$ получаем

$$\left(x^2+2x\right)^2-\left(x^2+2x+1\right)-55=0,$$

то есть

$$\left(x^2+2x\right)^2-\left(x^2+2x\right)-56=0.$$

Обозначим $$y=x^2+2x$$. Тогда

$$y^2-y-56=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+224=225,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=-7,\qquad y_2=8.$$

1) Если $$x^2+2x=-7,$$ то

$$x^2+2x+7=0.$$

Дискриминант:

$$D=4-28=-24<0,$$

значит, действительных корней нет.

2) Если $$x^2+2x=8,$$ то

$$x^2+2x-8=0.$$

Тогда

$$D=4+32=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

Получаем

$$x_1=-4,\qquad x_2=2.$$

Ответ

$$-4;\ 2.$$