Упр.38.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 38.17. Решите уравнение (x^2+2x)^2-(x+1)^2=55.

Обозначим $$y=x^2+2x.$$ Тогда исходное уравнение примет вид

$$y^2-(x+1)^2=55.$$

Так как $$x+1$$ не выражается через $$y$$ напрямую, преобразуем уравнение сразу:

$$ (x^2+2x)^2-(x+1)^2=55 $$

$$ (x^2+2x)^2-(x^2+2x+1)-55=0 $$

$$ (x^2+2x)^2-(x^2+2x)-56=0. $$

Пусть теперь $$y=x^2+2x$$. Тогда получаем квадратное уравнение

$$ y^2-y-56=0. $$

Найдём корни:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-56)=1+224=225, $$

$$ y_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2}. $$

Отсюда

$$ y_1=-7,\qquad y_2=8. $$

1) Если $$x^2+2x=-7$$, то

$$ x^2+2x+7=0. $$

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24<0, $$

значит, действительных корней нет.

2) Если $$x^2+2x=8$$, то

$$ x^2+2x-8=0. $$

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36, $$

$$ x=\frac{-2\pm 6}{2}. $$

Получаем

$$ x_1=-4,\qquad x_2=2. $$

Ответ

$$-4;\ 2.$$