Упр.38.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 38.16. Решите уравнение 1+(2x)/(x+4)+27/(2x^2+7x-4)=6/(2x-1).

ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в нуль.

$$x+4\ne 0,\quad 2x^2+7x-4\ne 0,\quad 2x-1\ne 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$2x^2+7x-4=(x+4)(2x-1).$$

Тогда уравнение можно записать так:

$$1+\frac{2x}{x+4}+\frac{27}{(x+4)(2x-1)}=\frac{6}{2x-1}.$$

Умножим обе части на $$\,(x+4)(2x-1)\,$$:

$$ (x+4)(2x-1)+2x(2x-1)+27=6(x+4). $$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$ 2x^2+7x-4+4x^2-2x+27=6x+24 $$
$$ 6x^2-x-1=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=1+24=25. $$

$$ x=\frac{1\pm 5}{12}. $$

$$ x_1=-\frac13,\quad x_2=\frac12. $$

Проверим ОДЗ: $$x\ne -4$$, $$x\ne \frac12$$. Значит, $$x=\frac12$$ не подходит.

Ответ

$$x=-\frac13.$$