Упр.38.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$1+\frac{2x}{x+4}+\frac{27}{2x^2+7x-4}=\frac{6}{2x-1}$$.

ОДЗ: $$x+4\ne 0,\quad 2x^2+7x-4\ne 0,\quad 2x-1\ne 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$2x^2+7x-4=(x+4)(2x-1).$$

Тогда уравнение примет вид:

$$1+\frac{2x}{x+4}+\frac{27}{(x+4)(2x-1)}=\frac{6}{2x-1}.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $$\,(x+4)(2x-1)\,.$$

$$(x+4)(2x-1)+2x(2x-1)+27-6(x+4)=0.$$

Раскроем скобки:

$$2x^2+7x-4+4x^2-2x+27-6x-24=0,$$

$$6x^2-x-1=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=1+24=25,$$

$$x=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac13,\qquad x_2=\frac12.$$

Проверим ОДЗ: $$x\ne -4,\; x\ne \frac12.$$

Значит, $$x=\frac12$$ не подходит, а $$x=-\frac13$$ — корень уравнения.

Ответ: $$-\frac13$$.