Упр.38.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 38.15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=v(x^2-1).

Функция $$f(x)=\sqrt{x^2-1}$$ определена при

$$x^2-1\ge 0,$$

откуда

$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x^2-1}\right)’=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется знаком числителя $$x$$.

Если $$x<0,$$ то $$f'(x)<0,$$ значит, функция убывает на $$(-\infty;-1].$$

Если $$x>0,$$ то $$f'(x)>0,$$ значит, функция возрастает на $$[1;+\infty).$$

Ответ

Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$