Упр.38.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $$f(x)=v(x^2-1)$$.

Область определения функции:

$$x^2-1\ge 0$$

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge 0$$

Отсюда

$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

Найдём производную:

$$f(x)=\sqrt{x^2-1}$$

$$f'(x)=\frac{(x^2-1)’}{2\sqrt{x^2-1}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется знаком числителя $$x$$:

• при $$x<0$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит функция убывает;
• при $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$, значит функция возрастает.

С учётом области определения получаем:

функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty).$$

Ответ

Убывает на $$(-\infty;\,-1]$$, возрастает на $$[1;\,+\infty).$$