Упр.38.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
- $$f(x)=\sqrt{x^2+4x}$$;
- $$f(x)=\sqrt{6x-x^2}$$.
1) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x^2+4x}.$$
Найдём область определения:
$$x^2+4x\ge 0$$
$$x(x+4)\ge 0$$
$$x\in(-\infty;-4]\cup[0;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=\left(\sqrt{x^2+4x}\right)’=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$x+2.$$
На промежутке $$(-\infty;-4]$$ имеем $$x+2<0,$$ значит функция убывает.
На промежутке $$[0;+\infty)$$ имеем $$x+2>0,$$ значит функция возрастает.
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{6x-x^2}.$$
Найдём область определения:
$$6x-x^2\ge 0$$
$$x(6-x)\ge 0$$
$$x\in[0;6].$$
Производная:
$$f'(x)=\left(\sqrt{6x-x^2}\right)’=\frac{6-2x}{2\sqrt{6x-x^2}}=\frac{3-x}{\sqrt{6x-x^2}}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$3-x.$$
При $$x<3$$ производная положительна, значит функция возрастает на $$[0;3].$$
При $$x>3$$ производная отрицательна, значит функция убывает на $$[3;6].$$
Ответ
1) Возрастает на $$[0;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-4].$$
2) Возрастает на $$[0;3]$$, убывает на $$[3;6].$$
