Упр.38.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=v(x^2+4x); 2) f(x)=v(6x-x^2).

1) $$f(x)=\sqrt{x^2+4x}$$

Найдём область определения:

$$x^2+4x\ge 0$$

$$x(x+4)\ge 0$$

$$x\in(-\infty;-4]\cup[0;+\infty)$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x^2+4x}\right)’=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$x+2$$.

На промежутке $$(-\infty;-4]$$ имеем $$x+2<0$$, значит функция убывает.

На промежутке $$[0;+\infty)$$ имеем $$x+2>0$$, значит функция возрастает.

2) $$f(x)=\sqrt{6x-x^2}$$

Найдём область определения:

$$6x-x^2\ge 0$$

$$x(6-x)\ge 0$$

$$x\in[0;6]$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{6x-x^2}\right)’=\frac{6-2x}{2\sqrt{6x-x^2}}=\frac{3-x}{\sqrt{6x-x^2}}$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$3-x$$.

При $$x<3$$ производная положительна, значит функция возрастает.

При $$x>3$$ производная отрицательна, значит функция убывает.

Ответ

1) $$f(x)=\sqrt{x^2+4x}$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-4]$$.

2) $$f(x)=\sqrt{6x-x^2}$$ возрастает на $$[0;3]$$, убывает на $$[3;6]$$.