Упр.38.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=sin(x)-x; 2) f(x)=xv2/2-sin(x).

1. $$f(x)=\sin x-x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(\sin x)’-(x)’=\cos x-1.$$

   Так как для любого $$x$$ верно $$\cos x\le 1,$$ то

   $$f'(x)=\cos x-1\le 0.$$

   Следовательно, функция убывает на всей области определения.

2. $$f(x)=\frac{x\sqrt2}{2}-\sin x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{\sqrt2}{2}-(\sin x)’=\frac{\sqrt2}{2}-\cos x.$$

   Исследуем знак производной:

   $$f'(x)\ge 0 \iff \cos x\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

   Равенство $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$ выполняется при

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Поэтому на каждом периоде функция возрастает там, где

   $$x\in \left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z,$$

   а убывает там, где

   $$x\in \left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) Убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

2) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.