Упр.38.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1. $$f(x)=\sin(x)-x$$;
2. $$f(x)=\frac{x\sqrt{2}}{2}-\sin(x)$$.

1) $$f(x)=\sin x-x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\sin x)’-(x)’=\cos x-1.$$

Так как $$\cos x\le 1$$ при всех $$x\in \mathbb{R},$$ то

$$f'(x)=\cos x-1\le 0.$$

Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

2) $$f(x)=\frac{x\sqrt{2}}{2}-\sin x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)’-(\sin x)’=\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)\ge 0 \iff \frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\ge 0 \iff \cos x\le \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Равенство $$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ выполняется при

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит, функция возрастает там, где

$$x\in \left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z},$$

и убывает там, где

$$x\in \left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$f(x)=\sin x-x$$ убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

2) $$f(x)=\frac{x\sqrt{2}}{2}-\sin x$$ возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z},$$ убывает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$