Упр.38.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
- $$f(x)=x\sqrt{2}+\sin x$$;
- $$f(x)=x-\cos x$$;
- $$f(x)=\cos x+\frac{x\sqrt{3}}{2}$$.
Найдём производные и исследуем их знак.
$$f(x)=x\sqrt{2}+\sin x.$$
$$f'(x)=\sqrt{2}+\cos x.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$f'(x)=\sqrt{2}+\cos x\ge \sqrt{2}-1>0.$$
Следовательно, функция возрастает при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и не убывает нигде.
$$f(x)=x-\cos x.$$
$$f'(x)=1+\sin x.$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$f'(x)=1+\sin x\ge 0.$$
Значит, функция возрастает при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и не убывает нигде.
$$f(x)=\cos x+\frac{x\sqrt{3}}{2}.$$
$$f'(x)=-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Найдём, где производная неотрицательна:
$$-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 0 \iff \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Равенство $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ выполняется при
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Поэтому
$$f'(x)>0 \text{ на } \left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{3}+2\pi n\right),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } \left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Следовательно, функция возрастает на
$$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z},$$
и убывает на
$$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ: 1) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; 2) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; 3) возрастает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right]$$, $$n\in \mathbb{Z}$$.
