Упр.38.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=xv2+sin(x); 3) f(x)=cos(x)+xv3/2.
2) f(x)=x-cos(x);

1. $$f(x)=x\sqrt{2}+\sin x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\sqrt{2}+\cos x.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$f'(x)=\sqrt{2}+\cos x\ge \sqrt{2}-1>0.$$

   Значит, функция возрастает при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и промежутков убывания не имеет.

2. $$f(x)=x-\cos x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1+\sin x.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$f'(x)=1+\sin x\ge 0.$$

   Следовательно, функция возрастает при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и промежутков убывания не имеет.

3. $$f(x)=\cos x+\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Исследуем знак производной:

   $$f'(x)\ge 0 \iff \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Равенство $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ выполняется при

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   На промежутках, где $$\sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2},$$ функция возрастает, а где $$\sin x>\frac{\sqrt{3}}{2},$$ убывает. Поэтому:

   $$f(x)\text{ возрастает на } \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z},$$

   $$f(x)\text{ убывает на } \left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) Возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, убывания нет.

2) Возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, убывания нет.

3) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z},$$ убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$