Упр.38.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите, что функция является убывающей:
1) $$f(x)=6-x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3$$;
2) $$f(x)=\sin(2x)-3x$$.

1) Найдём производную функции:

$$f(x)=6-x+\frac12x^2-\frac13x^3$$

$$f'(x)=0-1+\frac12\cdot 2x-\frac13\cdot 3x^2=-1+x-x^2.$$

Преобразуем:

$$f'(x)=-\bigl(x^2-x+1\bigr).$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен:

$$x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0$$

при любом $$x\in \mathbb{R}.$$ Значит,

$$f'(x)<0$$

для всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

2) Найдём производную функции:

$$f(x)=\sin 2x-3x$$

$$f'(x)=(\sin 2x)’-(3x)’=2\cos 2x-3.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$2\cos 2x-3\le 2\cdot 1-3=-1<0.$$

Следовательно, $$f'(x)<0$$ при всех $$x\in \mathbb{R},$$ а значит, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: обе функции убывают на $$\mathbb{R}.$$