Упр.38.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=6-x+(1/2)x^2-(1/3)x^3; 2) f(x)=sin(2x)-3x.

1) $$f(x)=6-x+\frac12x^2-\frac13x^3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(6)’-(x)’+\left(\frac12x^2\right)’-\left(\frac13x^3\right)’=0-1+x-x^2.$$

Преобразуем:

$$f'(x)=-x^2+x-1=-(x^2-x+1).$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен:

$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$. Значит,

$$f'(x)=-(x^2-x+1)<0 \quad \text{при всех } x\in\mathbb{R}.$$

Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

2) $$f(x)=\sin 2x-3x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\sin 2x)’-(3x)’=2\cos 2x-3.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$2\cos 2x-3\le 2\cdot1-3=-1<0.$$

Следовательно,

$$f'(x)<0 \quad \text{при всех } x\in\mathbb{R}.$$

Значит, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ

1) $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$; 2) $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.