Упр.38.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
   1) $$f(x)=x^2+4x-7$$;
   4) $$f(x)=x^4-2x^2-3$$;
   2) $$f(x)=2x^3-3x^2+1$$;
   5) $$f(x)=x^3+4x-8$$;
   3) $$f(x)=-x^3+9x^2+21x$$;
   6) $$f(x)=\frac{1}{4}x^4-8x+9$$.

1. $$f(x)=x^2+4x-7$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2x+4$$

   Решим неравенства:

   $$2x+4>0 \;\Rightarrow\; x>-2$$

   $$2x+4<0 \;\Rightarrow\; x<-2$$

   Значит, функция возрастает на $$[-2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-2]$$.

2. $$f(x)=2x^3-3x^2+1$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$$

   Исследуем знак производной:

   $$6x(x-1)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>1$$

   $$6x(x-1)<0 \;\Rightarrow\; 0<x<1$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[0;1]$$.

3. $$f(x)=-x^3+9x^2+21x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-3x^2+18x+21=-3(x^2-6x-7)=-3(x+1)(x-7)$$

   Так как множитель $$-3<0$$, то

   $$f'(x)>0 \;\Rightarrow\; (x+1)(x-7)<0 \;\Rightarrow\; -1<x<7$$

   $$f'(x)<0 \;\Rightarrow\; x<-1 \text{ или } x>7$$

   Значит, функция возрастает на $$[-1;7]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)$$.

4. $$f(x)=x^4-2x^2-3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.

   Исследуя знак производной, получаем:

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-1;0)\cup(1;+\infty)$$

   $$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(0;1)$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$.

5. $$f(x)=x^3+4x-8$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2+4$$

   Так как $$3x^2+4>0$$ при любом $$x\in\mathbb{R}$$, функция возрастает на всей числовой прямой.

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, промежутков убывания нет.

6. $$f(x)=\frac14x^4-8x+9$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$

   Так как $$x^2+2x+4>0$$ при любом $$x$$, знак производной определяется множителем $$x-2$$:

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<2,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>2$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty)$$.

Ответ

1. возрастает на $$[-2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]$$;
2. возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$;
3. возрастает на $$[-1;7]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)$$;
4. возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$;
5. возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
6. возрастает на $$[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;2]$$.