Упр.37.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 37.9. К графику функции f(x)=2sin(x)+3cos(x) проведены касательные в точках с абсциссами x_1=?/2 и x_2=3?/2. Каково взаимное расположение этих касательных?

Подробный ответ

Найдём производную функции $$f(x)=2\sin x+3\cos x.$$

$$f'(x)=2\cos x-3\sin x.$$

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $$x_1=\frac{\pi}{2}$$ равен

$$k_1=f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}-3\sin\frac{\pi}{2}=2\cdot 0-3\cdot 1=-3.$$

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $$x_2=\frac{3\pi}{2}$$ равен

$$k_2=f’\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\frac{3\pi}{2}-3\sin\frac{3\pi}{2}=2\cdot 0-3\cdot(-1)=3.$$

Так как $$k_1\ne k_2,$$ касательные не параллельны. Следовательно, они пересекаются.