Упр.37.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции f в точке его пересечения с осью абсцисс: 1) $$f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$$; 2) $$f(x)=3x-x^2$$.

1) Найдём точку пересечения графика с осью абсцисс:

$$\frac{x-1}{x^2+1}=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x_0=1.$$

Вычислим производную:

$$f'(x)=\frac{(x-1)'(x^2+1)-(x-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}=\frac{1\cdot(x^2+1)-(x-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}.$$

Упростим:

$$f'(x)=\frac{x^2+1-2x^2+2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x+1-x^2}{(x^2+1)^2}.$$

Тогда

$$f'(1)=\frac{2\cdot 1+1-1^2}{(1^2+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Так как $$f(1)=0,$$ получаем

$$y=\frac12(x-1)=\frac12x-\frac12.$$

2) Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:

$$3x-x^2=0 \Rightarrow x(3-x)=0 \Rightarrow x_0=0 \text{ или } x_0=3.$$

Вычислим производную:

$$f'(x)=3-2x.$$

Тогда

$$f'(0)=3,\qquad f'(3)=3-6=-3.$$

Уравнения касательных:

$$y=3(x-0)+0=3x,$$

$$y=-3(x-3)+0=9-3x.$$

Ответ

1) $$y=\frac12x-\frac12.$$

2) $$y=3x$$ и $$y=9-3x.$$