Упр.37.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=(x-1)/(x^2+1); 2) f(x)=3x-x^2.

1. $$f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$$

   Найдём абсциссу точки пересечения с осью $$Ox$$:

   $$\frac{x-1}{x^2+1}=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x_0=1.$$

   Производная функции:

   $$ f'(x)=\frac{(x-1)'(x^2+1)-(x-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-2x(x-1)}{(x^2+1)^2} =\frac{2x+1-x^2}{(x^2+1)^2}. $$

   Найдём значение производной в точке $$x_0=1$$:

   $$f'(1)=\frac{2\cdot 1+1-1^2}{(1^2+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

   Так как $$f(1)=0$$, получаем:

   $$y=\frac12(x-1)=\frac12x-\frac12.$$

2. $$f(x)=3x-x^2$$

   Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:

   $$3x-x^2=0 \Rightarrow x(3-x)=0 \Rightarrow x_0=0 \text{ или } x_0=3.$$

   Производная функции:

   $$f'(x)=3-2x.$$

   1) При $$x_0=0$$:

   $$f'(0)=3,\quad f(0)=0,$$

   поэтому

   $$y=3(x-0)+0=3x.$$

   2) При $$x_0=3$$:

   $$f'(3)=3-2\cdot 3=-3,\quad f(3)=0,$$

   поэтому

   $$y=-3(x-3)=9-3x.$$

Ответ

1) $$y=\frac12x-\frac12$$; 2) $$y=3x$$, $$y=9-3x$$.