Упр.37.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $$f$$ в точке его пересечения с осью абсцисс: 1) $$f(x)=8x^3-1$$; 2) $$f(x)=x-\frac{1}{x}$$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0$$ имеет вид

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

1. $$f(x)=8x^3-1.$$

   Найдём точку пересечения с осью абсцисс:

   $$8x_0^3-1=0,$$

   $$8x_0^3=1,$$

   $$x_0^3=\frac18,$$

   $$x_0=\sqrt[3]{\frac18}=\frac12.$$

   Производная:

   $$f'(x)=24x^2.$$

   Тогда

   $$f’\!\left(\frac12\right)=24\cdot\left(\frac12\right)^2=24\cdot\frac14=6.$$

   Так как $$f\!\left(\frac12\right)=0,$$ получаем:

   $$y=6\left(x-\frac12\right)=6x-3.$$

2. $$f(x)=x-\frac1x.$$

   Найдём точку пересечения с осью абсцисс:

   $$x_0-\frac1{x_0}=0,$$

   $$x_0=\frac1{x_0},$$

   $$x_0^2=1,$$

   $$x_0=\pm1.$$

   Производная:

   $$f'(x)=1+\frac1{x^2}.$$

   Тогда

   $$f'(1)=1+\frac11=2,\qquad f'(-1)=1+\frac11=2.$$

   Для точки $$x_0=1$$:

   $$y=2(x-1)=2x-2.$$

   Для точки $$x_0=-1$$:

   $$y=2(x+1)=2x+2.$$

Ответ

1) $$y=6x-3$$; 2) $$y=2x-2$$ и $$y=2x+2$$.