Упр.37.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат: 1) $$f(x)=2x^3-5x+2$$; 2) $$f(x)=\sin\left(3x-\frac{?}{4}\right)$$.

Найдём уравнение касательной в точке пересечения графика с осью ординат. Для этого берём $$x_0=0$$ и используем формулу касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

1)

$$f(x)=2x^3-5x+2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=6x^2-5.$$

Тогда

$$f'(0)=6\cdot 0^2-5=-5,$$

$$f(0)=2\cdot 0^3-5\cdot 0+2=2.$$

Подставим в формулу касательной:

$$y=-5(x-0)+2,$$

$$y=-5x+2.$$

2)

$$f(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$f'(0)=3\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=3\cos\frac{\pi}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2},$$

$$f(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставим в формулу касательной:

$$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}(x-0)-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ

1) $$y=-5x+2$$; 2) $$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$