Упр.37.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите неравенство: 1) $$x^2+x-12>0$$; 4) $$\frac{x^2+10x+9}{x^2-4x+3}<0$$; 2) $$x^2-3x-10?0$$; 5) $$\frac{x^2-5x+4}{x^2-6x+9}?0$$; 3) $$6x-x^2?0$$; 6) $$(x+1)^3(x-1)^2(x-3)^6>0$$.
1) $$x^2+x-12>0$$
$$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$
Тогда
$$(x+4)(x-3)>0$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty).$$
2) $$x^2-3x-10\le 0$$
$$x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$$
Тогда
$$(x+2)(x-5)\le 0$$
Отсюда
$$x\in[-2;5].$$
3) $$6x-x^2\ge 0$$
$$x(6-x)\ge 0$$
или
$$x(x-6)\le 0.$$
Следовательно,
$$x\in[0;6].$$
4) $$\dfrac{x^2+10x+9}{x^2-4x+3}<0$$
Разложим на множители:
$$x^2+10x+9=(x+9)(x+1),$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Тогда
$$\dfrac{(x+9)(x+1)}{(x-1)(x-3)}<0.$$
Критические точки: $$x=-9,\,-1,\,1,\,3.$$
Знак дроби отрицателен на промежутках
$$x\in(-9;-1)\cup(1;3).$$
5) $$\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-6x+9}\le 0$$
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4),$$
$$x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3,$$ получаем
$$\dfrac{(x-1)(x-4)}{(x-3)^2}\le 0,\quad x\ne 3.$$
Значит, нужно решить
$$(x-1)(x-4)\le 0,\quad x\ne 3.$$
Отсюда
$$x\in[1;3)\cup(3;4].$$
6) $$(x+1)^3(x-1)^2(x-3)^6>0$$
Степени $$2$$ и $$6$$ чётные, поэтому
$$(x-1)^2\ge 0,\qquad (x-3)^6\ge 0.$$
Чтобы произведение было положительным, нужно, чтобы
$$(x+1)^3>0$$
и при этом все множители не обращались в нуль. Тогда
$$x>-1,\quad x\ne 1,\quad x\ne 3.$$
Следовательно,
$$x\in(-1;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$; 2) $$[-2;5]$$; 3) $$[0;6]$$; 4) $$(-9;-1)\cup(1;3)$$; 5) $$[1;3)\cup(3;4]$$; 6) $$(-1;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)$$.
