Упр.37.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) x^2+x-12 > 0; 4) (x^2+10x+9)/(x^2-4x+3) < 0; 2) x^2-3x-10?0; 5) (x^2-5x+4)/(x^2-6x+9)?0; 3) 6x-x^2?0; 6) (x+1)^3 (x-1)^2 (x-3)^6 > 0.

1. $$x^2+x-12>0$$
   $$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$
   $$ (x+4)(x-3)>0 $$
   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty).$$
2. $$x^2-3x-10\le 0$$
   $$x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$$
   $$ (x+2)(x-5)\le 0 $$
   Тогда
   $$x\in[-2;5].$$
3. $$6x-x^2\ge 0$$
   $$x(6-x)\ge 0$$
   Или
   $$x(x-6)\le 0$$
   Отсюда
   $$x\in[0;6].$$
4. $$\frac{x^2+10x+9}{x^2-4x+3}<0$$
   Разложим на множители:
   $$x^2+10x+9=(x+9)(x+1),$$
   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
   Тогда
   $$\frac{(x+9)(x+1)}{(x-1)(x-3)}<0,$$
   где $$x\ne 1,\; x\ne 3.$$
   По знакам дроби получаем:
   $$x\in(-9;-1)\cup(1;3).$$
5. $$\frac{x^2-5x+4}{x^2-6x+9}\le 0$$
   $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4),$$
   $$x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
   Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3,$$ то знак дроби определяется числителем:
   $$ (x-1)(x-4)\le 0,\quad x\ne 3. $$
   Следовательно,
   $$x\in[1;3)\cup(3;4].$$
6. $$(x+1)^3(x-1)^2(x-3)^6>0$$
   Степени $$2$$ и $$6$$ чётные, поэтому
   $$(x-1)^2\ge 0,\qquad (x-3)^6\ge 0,$$
   а знак произведения определяется множителем $$x+1$$.
   Чтобы произведение было положительным, нужно:
   $$x+1>0,\quad x\ne 1,\quad x\ne 3.$$
   Значит,
   $$x\in(-1;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$;
2) $$x\in[-2;5]$$;
3) $$x\in[0;6]$$;
4) $$x\in(-9;-1)\cup(1;3)$$;
5) $$x\in[1;3)\cup(3;4]$$;
6) $$x\in(-1;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)$$.