Упр.37.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $$f(x)=x^3+x^2-6x+1$$ в точке с абсциссой $$x_0=1$$.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$f(x)=x^3+x^2-6x+1$$ в точке $$x_0=1$$.

Вычислим производную:

$$f'(x)=3x^2+2x-6.$$

Тогда

$$f'(1)=3\cdot 1^2+2\cdot 1-6=-1,$$

$$f(1)=1^3+1^2-6\cdot 1+1=-3.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(1)(x-1)+f(1),$$

$$y=-1(x-1)-3=-x-2.$$

Найдём точки пересечения с осями координат:

с осью $$Ox$$:

$$-x-2=0,\quad x=-2;$$

с осью $$Oy$$:

$$y(0)=-2.$$

Значит, треугольник образован прямой $$y=-x-2$$ и осями координат, его катеты равны $$2$$ и $$2$$. Тогда

$$S=\frac12\cdot 2\cdot 2=2.$$

Ответ: $$2$$.