Упр.37.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 37.22. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f(x)=x^3+x^2-6x+1 в точке с абсциссой x_0=1.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3+x^2-6x+1$$

$$f'(x)=3x^2+2x-6$$

Вычислим значение производной и функции в точке $$x_0=1$$:

$$f'(1)=3\cdot 1^2+2\cdot 1-6=-1$$

$$f(1)=1^3+1^2-6\cdot 1+1=-3$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

$$y=-1(x-1)-3=-x-2$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат:

с осью $$Ox$$:

$$-x-2=0$$

$$x=-2$$

с осью $$Oy$$:

$$y(0)=-2$$

Треугольник, образованный осями координат и касательной, имеет катеты длиной $$2$$ и $$2$$. Тогда его площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$$

Ответ

$$2$$