Упр.37.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 37.20. Определите, является ли прямая y=(1/2)x+1/2 касательной к графику функции y=vx. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Подробный ответ

Дана функция $$f(x)=\sqrt{x}.$$ Найдём её производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Если прямая $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$ является касательной к графику функции, то её угловой коэффициент должен совпадать с производной в точке касания:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}.$$

Решим уравнение:

$$2\sqrt{x}=2,$$

$$\sqrt{x}=1,$$

$$x=1.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(1)=\sqrt{1}=1.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0=1$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

$$y=\frac{1}{2}(x-1)+1=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.$$

Получили данную прямую, значит, она действительно является касательной.