Упр.37.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Составьте уравнение касательной к графику функции $$f$$ в точке с абсциссой $$x_0$$, если:
1) $$f(x)=2x^3-3x$$, $$x_0=1$$;
4) $$f(x)=\operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$, $$x_0=-\frac{\pi}{2}$$;
2) $$f(x)=0{,}5x^2-2x+2$$, $$x_0=0$$;
5) $$f(x)=\sqrt{4x^2+3x}$$, $$x_0=-1$$;
3) $$f(x)=\cos(x)$$, $$x_0=\frac{\pi}{2}$$;
6) $$f(x)=\frac{x^2-4x}{x-2}$$, $$x_0=3$$.
1) $$f(x)=2x^3-3x,\quad x_0=1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2-3,$$
$$f'(1)=6\cdot 1^2-3=3.$$
Вычислим значение функции в точке касания:
$$f(1)=2\cdot 1^3-3\cdot 1=-1.$$
Уравнение касательной:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$
$$y=3(x-1)-1=3x-4.$$
Ответ: $$y=3x-4.$$
2) $$f(x)=0{,}5x^2-2x+2,\quad x_0=0$$
$$f'(x)=x-2,$$
$$f'(0)=-2.$$
$$f(0)=2.$$
$$y=-2(x-0)+2=-2x+2.$$
Ответ: $$y=-2x+2.$$
3) $$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}$$
$$f'(x)=-\sin x,$$
$$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$
$$y=-1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-x.$$
Ответ: $$y=\frac{\pi}{2}-x.$$
4) $$f(x)=\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\quad x_0=-\frac{\pi}{2}$$
$$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)},$$
$$f’\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=-2.$$
$$f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$
$$y=-2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-1=-2x-\pi-1.$$
Ответ: $$y=-2x-\pi-1.$$
5) $$f(x)=\sqrt{4x^2+3x},\quad x_0=-1$$
$$f'(x)=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x}},$$
$$f'(-1)=\frac{8\cdot(-1)+3}{2\sqrt{4\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)}}=-\frac{5}{2}.$$
$$f(-1)=\sqrt{4-3}=1.$$
$$y=-\frac{5}{2}(x+1)+1=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}.$$
Ответ: $$y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}.$$
6) $$f(x)=\frac{x^2-4x}{x-2},\quad x_0=3$$
Так как $$x\ne 2,$$ то
$$f(x)=\frac{x(x-4)}{x-2}.$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x)}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+8}{(x-2)^2}.$$
$$f'(3)=\frac{9-12+8}{(3-2)^2}=5.$$
$$f(3)=\frac{9-12}{3-2}=-3.$$
$$y=5(x-3)-3=5x-18.$$
Ответ: $$y=5x-18.$$
