Упр.37.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2x^3-3x, x_0=1; 4) f(x)=ctg(x+?/4), x_0=-?/2;
2) f(x)=0,5x^2-2x+2, x_0=0; 5) f(x)=v(4x^2+3x), x_0=-1;
3) f(x)=cos(x), x_0=?/2; 6) f(x)=(x^2-4x)/(x-2), x_0=3.

Подробный ответ

$$f(x)=2x^3-3x,\quad x_0=1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2-3$$
$$f'(1)=6\cdot 1^2-3=3$$
$$f(1)=2\cdot 1^3-3\cdot 1=-1$$
Уравнение касательной:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
$$y=3(x-1)-1=3x-4$$
$$f(x)=0{,}5x^2-2x+2,\quad x_0=0$$
$$f'(x)=x-2$$
$$f'(0)=-2$$
$$f(0)=2$$
$$y=-2(x-0)+2=-2x+2$$
$$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}$$
$$f'(x)=-\sin x$$
$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$
$$y=-1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-x$$
$$f(x)=\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\quad x_0=-\frac{\pi}{2}$$
$$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}$$
$$f’\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=-2$$
$$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$
$$y=-2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-1=-2x-\pi-1$$
$$f(x)=\sqrt{4x^2+3x},\quad x_0=-1$$
$$f'(x)=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x}}$$
$$f'(-1)=\frac{8\cdot(-1)+3}{2\sqrt{4\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)}}=\frac{-5}{2}$$
$$f(-1)=\sqrt{4\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)}=\sqrt{1}=1$$
$$y=-\frac{5}{2}(x+1)+1=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$$
$$f(x)=\frac{x^2-4x}{x-2},\quad x_0=3$$
Так как $$x_0=3\neq 2$$, функция определена.
Найдём производную по формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x)}{(x-2)^2}$$
$$f'(x)=\frac{x^2-4x+8}{(x-2)^2}$$
$$f'(3)=\frac{9-12+8}{(3-2)^2}=5$$
$$f(3)=\frac{3^2-4\cdot 3}{3-2}=-3$$
$$y=5(x-3)-3=5x-18$$