Упр.37.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Определите, является ли прямая $$y=x$$ касательной к графику функции $$y=\sin(x)$$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Найдём производную функции $$f(x)=\sin x$$:

$$f'(x)=\cos x.$$

Чтобы касательная была параллельна прямой $$y=x,$$ её угловой коэффициент должен быть равен $$1.$$ Значит,

$$\cos x=1.$$

Это выполняется при

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Возьмём, например, $$x_0=0.$$ Тогда

$$f(0)=\sin 0=0.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Подставим найденные значения:

$$y=1\cdot(x-0)+0=x.$$

Следовательно, прямая $$y=x$$ является касательной к графику функции $$y=\sin x.$$

Ответ: да, $$x_0=0$$.