Упр.37.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 37.19. Определите, является ли прямая y=x касательной к графику функции y=sin(x). В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Найдём производную функции $$y=\sin x$$:

$$y’=\cos x.$$

Чтобы касательная была параллельна прямой $$y=x$$, её угловой коэффициент должен быть равен $$1$$. Значит,

$$\cos x=1.$$

Отсюда

$$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Возьмём точку касания при $$n=0$$: $$x_0=0.$$ Тогда

$$f(0)=\sin 0=0.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0=0$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Подставим значения:

$$y=1\cdot(x-0)+0=x.$$

Следовательно, прямая $$y=x$$ является касательной к графику функции $$y=\sin x$$.

Ответ

Да, является; $$x_0=0$$.