Упр.37.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Составьте уравнение касательной к графику функции:

1. $$f(x)=3x^2+5x+3$$, если эта касательная параллельна прямой $$y=-7x+3$$;
2. $$f(x)=vx$$, если эта касательная параллельна прямой $$y=x$$.

1) Для функции $$f(x)=3x^2+5x+3$$ найдём производную:

$$f'(x)=6x+5.$$

Так как касательная параллельна прямой $$y=-7x+3,$$ её угловой коэффициент равен $$-7.$$ Тогда

$$6x+5=-7,$$

$$6x=-12,$$

$$x_0=-2.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(-2)=3\cdot(-2)^2+5\cdot(-2)+3=12-10+3=5.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

$$y=-7(x+2)+5=-7x-9.$$

2) Для функции $$f(x)=\sqrt{x}$$ найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Касательная параллельна прямой $$y=x,$$ значит её угловой коэффициент равен $$1.$$ Тогда

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1,$$

$$2\sqrt{x}=1,$$

$$\sqrt{x}=\frac12,$$

$$x_0=\frac14.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\left(\frac14\right)=\sqrt{\frac14}=\frac12.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

$$y=1\left(x-\frac14\right)+\frac12=x+\frac14.$$

Ответ

1) $$y=-7x-9$$; 2) $$y=x+\frac14.$$