Упр.37.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=3x^2+5x+3, если эта касательная параллельна прямой y=-7x+3;
2) f(x)=vx, если эта касательная параллельна прямой y=x.

1. 1) $$f(x)=3x^2+5x+3,$$ касательная параллельна прямой $$y=-7x+3.$$

   Угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту данной прямой, то есть $$k=-7.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=6x+5.$$

   Приравниваем её к $$-7$$:

   $$6x+5=-7$$

   $$6x=-12$$

   $$x_0=-2.$$

   Найдём ординату точки касания:

   $$f(-2)=3\cdot(-2)^2+5\cdot(-2)+3=12-10+3=5.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

   $$y=-7(x+2)+5=-7x-9.$$

2. 2) $$f(x)=\sqrt{x},$$ касательная параллельна прямой $$y=x.$$

   Значит, её угловой коэффициент равен $$1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Приравниваем к $$1$$:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$

   $$2\sqrt{x}=1$$

   $$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$

   $$x_0=\frac{1}{4}.$$

   Найдём значение функции в точке касания:

   $$f\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

   $$y=1\left(x-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=x+\frac{1}{4}.$$

Ответ

1) $$y=-7x-9$$; 2) $$y=x+\frac{1}{4}.$$