Упр.37.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $$f(x)=x^2-5x$$, если эта касательная параллельна прямой $$y=-x$$;
2) $$f(x)=x-\frac{1}{x^2}$$, если эта касательная параллельна прямой $$y=3x$$;
3) $$f(x)=2x^3+3x^2-10x+1$$, если эта касательная параллельна прямой $$y=2x+1$$.

Подробный ответ

Найдём производную функции и приравняем её к угловому коэффициенту данной прямой, так как касательная параллельна этой прямой.

$$f(x)=x^2-5x,\quad y=-x.$$
$$f'(x)=2x-5.$$
Угловой коэффициент прямой $$y=-x$$ равен $$-1$$, значит:
$$2x-5=-1,$$
$$2x=4,\quad x_0=2.$$
Найдём значение функции в точке касания:
$$f(2)=2^2-5\cdot 2=4-10=-6.$$
Уравнение касательной:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$
$$y=-1(x-2)-6=-x-4.$$
$$f(x)=x-\frac{1}{x^2},\quad y=3x.$$
$$f'(x)=1+\frac{2}{x^3}.$$
Угловой коэффициент прямой $$y=3x$$ равен $$3$$, значит:
$$1+\frac{2}{x^3}=3,$$
$$\frac{2}{x^3}=2,\quad x^3=1,\quad x_0=1.$$
Найдём значение функции в точке касания:
$$f(1)=1-\frac{1}{1^2}=0.$$
Уравнение касательной:
$$y=3(x-1)+0=3x-3.$$
$$f(x)=2x^3+3x^2-10x-1,\quad y=2x+1.$$
$$f'(x)=6x^2+6x-10.$$
Угловой коэффициент прямой $$y=2x+1$$ равен $$2$$, значит:
$$6x^2+6x-10=2,$$
$$6x^2+6x-12=0,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0,$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
Найдём значения функции:
$$f(-2)=2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-10\cdot(-2)-1=15,$$
$$f(1)=2\cdot 1^3+3\cdot 1^2-10\cdot 1-1=-6.$$
Уравнения касательных:
$$y=2(x+2)+15=2x+19,$$
$$y=2(x-1)-6=2x-8.$$