Упр.37.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 37.15. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции f(x)=(1/3)x^3-x^2-3x+4.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\frac13x^3-x^2-3x+4$$

$$f'(x)=x^2-2x-3$$

Горизонтальные касательные соответствуют точкам, где $$f'(x)=0$$:

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm4}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(-1)=\frac13\cdot(-1)^3-(-1)^2-3\cdot(-1)+4=\frac13-1+3+4=\frac{17}{3}$$

$$f(3)=\frac13\cdot3^3-3^2-3\cdot3+4=9-9-9+4=-5$$

Следовательно, уравнения горизонтальных касательных:

$$y=\frac{17}{3}$$

$$y=-5$$

Ответ

$$y=-5,\quad y=\frac{17}{3}$$