Упр.37.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+4$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\frac13x^3-x^2-3x+4$$

$$f'(x)=x^2-2x-3$$

Горизонтальная касательная существует в тех точках, где $$f'(x)=0$$:

$$x^2-2x-3=0$$

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$$

Отсюда

$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(-1)=\frac13(-1)^3-(-1)^2-3(-1)+4=-\frac13-1+3+4=\frac{17}{3}$$

$$f(3)=\frac13\cdot 3^3-3^2-3\cdot 3+4=9-9-9+4=-5$$

Следовательно, уравнения горизонтальных касательных:

$$y=\frac{17}{3}$$

$$y=-5$$

Ответ

$$y=\frac{17}{3},\quad y=-5$$