Упр.37.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции: 1) $$f(x)=x^3-3x+1$$; 2) $$f(x)=\frac{1}{2}x^4-4x^2+1$$.

1) Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3-3x+1$$

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$$

Горизонтальная касательная существует там, где $$f'(x)=0$$:

$$3(x^2-1)=0$$

$$x^2-1=0$$

$$x=-1 \text{ или } x=1$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3$$

$$f(1)=1^3-3\cdot 1+1=1-3+1=-1$$

Уравнения горизонтальных касательных:

$$y=3$$

$$y=-1$$

2) Найдём производную функции:

$$f(x)=\frac12x^4-4x^2+1$$

$$f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)$$

Горизонтальная касательная существует там, где $$f'(x)=0$$:

$$2x(x^2-4)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=\pm 2$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(0)=\frac12\cdot 0^4-4\cdot 0^2+1=1$$

$$f(\pm 2)=\frac12\cdot (\pm 2)^4-4\cdot (\pm 2)^2+1=\frac12\cdot 16-4\cdot 4+1=8-16+1=-7$$

Уравнения горизонтальных касательных:

$$y=1$$

$$y=-7$$

Ответ: 1) $$y=3$$, $$y=-1$$; 2) $$y=1$$, $$y=-7$$.