Упр.37.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=x^3-3x+1; 2) f(x)=(1/2)x^4-4x^2+1.

Подробный ответ

Горизонтальная касательная к графику функции имеет угловой коэффициент $$k=0$$, значит, нужно найти точки, в которых $$f'(x)=0$$, а затем вычислить значения функции в этих точках.

$$f(x)=x^3-3x+1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$$
Приравняем к нулю:
$$3(x^2-1)=0$$
$$x^2-1=0$$
$$x=-1 \text{ или } x=1$$
Найдём значения функции:
$$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+1=-1+3+1=3$$
$$f(1)=1^3-3\cdot1+1=1-3+1=-1$$
Следовательно, уравнения горизонтальных касательных:
$$y=3$$
$$y=-1$$
$$f(x)=\frac12x^4-4x^2+1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)$$
Приравняем к нулю:
$$2x(x^2-4)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\pm2$$
Найдём значения функции:
$$f(0)=\frac12\cdot0^4-4\cdot0^2+1=1$$
$$f(\pm2)=\frac12\cdot(\pm2)^4-4\cdot(\pm2)^2+1=8-16+1=-7$$
Следовательно, уравнения горизонтальных касательных:
$$y=1$$
$$y=-7$$