Упр.37.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Докажите, что любая касательная к графику функции f образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс:
- $$f(x)=x^5+2x-8$$;
- $$f(x)=\frac{4}{1-x}$$.
1) Найдём производную функции:
$$f(x)=x^5+2x-8$$
$$f'(x)=(x^5)’ + (2x-8)’ = 5x^4+2.$$
Так как $$5x^4 \ge 0$$ при любом $$x,$$ то
$$f'(x)=5x^4+2>0.$$
Значит, угловой коэффициент любой касательной положителен, то есть
$$\tan \alpha > 0,$$
следовательно, $$\alpha < 90^\circ.$$
Итак, любая касательная к графику этой функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
2) Найдём производную функции:
$$f(x)=\frac{4}{1-x}.$$
По правилу дифференцирования дроби:
$$f'(x)=\frac{(4)'(1-x)-4(1-x)’}{(1-x)^2}.$$
Так как $$(4)’=0,$$ а $$(1-x)’=-1,$$ получаем
$$f'(x)=\frac{0\cdot(1-x)-4\cdot(-1)}{(1-x)^2}=\frac{4}{(1-x)^2}.$$
Поскольку $$(1-x)^2>0$$ при всех $$x\ne 1,$$ то
$$f'(x)=\frac{4}{(1-x)^2}>0.$$
Следовательно, угловой коэффициент любой касательной положителен, значит
$$\tan \alpha > 0,\qquad \alpha < 90^\circ.$$
Итак, любая касательная к графику этой функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
Ответ
В обоих случаях $$f'(x)>0$$ на области определения функции, поэтому любая касательная образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
