Упр.37.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Докажите, что любая касательная к графику функции f образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс: 1) $$f(x)=6-x-x^3$$; 2) $$f(x)=\frac{5-x}{x-3}$$.
1) $$f(x)=6-x-x^3$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(6)’-(x)’-(x^3)’=0-1-3x^2=-(3x^2+1).$$
Так как $$3x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ то
$$f'(x)<0.$$
Значит, угловой коэффициент любой касательной отрицателен, поэтому
$$\tg \alpha<0,$$
следовательно, $$\alpha>90^\circ.$$
Итак, любая касательная к графику этой функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
2) $$f(x)=\frac{5-x}{x-3}$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{(5-x)'(x-3)-(5-x)(x-3)’}{(x-3)^2}.$$
Тогда
$$f'(x)=\frac{-1\cdot(x-3)-(5-x)\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{-x+3-5+x}{(x-3)^2}=-\frac{2}{(x-3)^2}.$$
Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3,$$ то
$$f'(x)<0.$$
Следовательно, для любой касательной
$$\tg \alpha<0,$$
значит, $$\alpha>90^\circ.$$
Итак, любая касательная к графику этой функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
