Упр.37.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=6-x-x^3; 2) f(x)=(5-x)/(x-3).

Угол наклона касательной к графику функции с положительным направлением оси абсцисс связан с её угловым коэффициентом: $$k=f'(x_0).$$ Если $$f'(x_0)<0,$$ то $$\tg \alpha<0,$$ значит, $$90^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то есть угол тупой.

1. $$f(x)=6-x-x^3.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=0-1-3x^2=-(3x^2+1).$$

   Так как $$3x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ то

   $$f'(x)<0.$$

   Следовательно, любая касательная к графику этой функции образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.

2. $$f(x)=\frac{5-x}{x-3}, \quad x\ne 3.$$

   Найдём производную по формуле производной частного:

   $$ f'(x)=\frac{(5-x)'(x-3)-(5-x)(x-3)’}{(x-3)^2} =\frac{-1\cdot(x-3)-(5-x)\cdot 1}{(x-3)^2}. $$

   Упростим:

   $$ f'(x)=\frac{-x+3-5+x}{(x-3)^2} =-\frac{2}{(x-3)^2}. $$

   Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3,$$ то

   $$f'(x)<0.$$

   Значит, любая касательная к графику этой функции также образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.

Ответ

В обоих случаях любая касательная образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.